微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x + 3}{y - 5}$ , $y (0) = 8$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y - 5$ 。

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

解题步骤 1.2

约去 $y - 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = 5 x + 3$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(y - 5) d y = (5 x + 3) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y d y + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 5 y + C_{2} = \int 5 x + 3 d x$

解题步骤 2.2.4

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x + 3 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x d x + \int 3 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 \int x d x + \int 3 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 3 d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + C_{6}$

解题步骤 2.3.5.3

重新排序项。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + K$

解题步骤 3.3

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{5 x^{2}}{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} = 3 x + K$

解题步骤 3.3.2

从等式两边同时减去 $3 x$ 。

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x = K$

解题步骤 3.3.3

从等式两边同时减去 $K$ 。

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x - K = 0$

解题步骤 3.4

全部乘以最小公分母 $2$ ，然后化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2

化简。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.1.2

重写表达式。

$y^{2} + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.2

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} - 10 y + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.3.1

将 $- \frac{5 x^{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.3.2

约去公因数。

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.3.3

重写表达式。

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.4

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x - 2 K = 0$

解题步骤 3.4.3

移动 $- 10 y$ 。

$y^{2} - 5 x^{2} - 6 x - 2 K - 10 y = 0$

解题步骤 3.4.4

移动 $- 6 x$ 。

$y^{2} - 5 x^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

解题步骤 3.4.5

将 $y^{2}$ 和 $- 5 x^{2}$ 重新排序。

$- 5 x^{2} + y^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

解题步骤 3.5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.6

将 $a = 1$ 、 $b = - 10$ 和 $c = - 5 x^{2} - 2 K - 6 x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.7.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.3

运用分配律。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.4

化简。

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解题步骤 3.7.1.4.1

将 $- 5$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.4.2

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.4.3

将 $- 6$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5

从 $100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.7.1.5.1

从 $100$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5.2

从 $20 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5.3

从 $8 K$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 24 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5.4

从 $24 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5.5

从 $4 (25) + 4 (5 x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5.6

从 $4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5.7

从 $4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.6

将 $4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ 重写为 $2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ 。

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解题步骤 3.7.1.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.6.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.7

从根式下提出各项。

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.8

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$

解题步骤 3.7.3

化简 $\frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$ 。

$y = 5 \pm \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

解题步骤 3.8

最终答案为两个解的组合。

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

解题步骤 5

由于 $y$ 在初始条件 $(0, 8)$ 中为正，所以只考虑用 $y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ 来求 $K$ 。将 $0$ 代入 $x$ ，将 $8$ 代入 $y$ 。

$8 = 5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$ 。

$5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$

解题步骤 6.2

将所有不包含 $\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8 - 5$

解题步骤 6.2.2

从 $8$ 中减去 $5$ 。

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 3$

解题步骤 6.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}}^{2} = 3^{2}$

解题步骤 6.4

化简方程的两边。

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解题步骤 6.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ 重写成 ${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

解题步骤 6.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.1

化简 ${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.4.2.1.1

将 ${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 6.4.2.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(25 + 5 \cdot 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.2.2

将 $5$ 乘以 $0$ 。

${(25 + 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.2.3

将 $6$ 乘以 $0$ 。

${(25 + 0 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 6.4.2.1.3.1

合并 $25 + 0 + K + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 6.4.2.1.3.1.1

将 $25$ 和 $0$ 相加。

${(25 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.3.1.2

将 $25 + K$ 和 $0$ 相加。

${(25 + K)}^{1} = 3^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.3.2

化简。

$25 + K = 3^{2}$

解题步骤 6.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$25 + K = 9$

解题步骤 6.5

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.5.1

从等式两边同时减去 $25$ 。

$K = 9 - 25$

解题步骤 6.5.2

从 $9$ 中减去 $25$ 。

$K = - 16$

解题步骤 7

代入 $- 16$ 替换 $y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $- 16$ 替换 $K$ 。

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} - 16 + 6 x}$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

从 $25$ 中减去 $16$ 。

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 9 + 6 x}$

解题步骤 7.2.2

重新排序项。

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 6 x + 9}$

微积分学 示例

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