微积分学示例

$y^{- 1} d y + y e^{\cos (x)} \sin (x) d x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$ 。

$y^{- 1} d y = - y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} y^{- 1} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

解题步骤 3.2

乘以 $\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y \cdot y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

解题步骤 3.2.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{y^{1} y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

解题步骤 3.2.3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{y^{1} y^{1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{y^{1 + 1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

解题步骤 3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

将 $- \frac{1}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

解题步骤 3.4.2

从 $y e^{\cos (x)} \sin (x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

解题步骤 3.4.3

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

解题步骤 3.4.4

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2}} d y = - (e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

$\frac{1}{y^{2}} d y = - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.1.1

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

解题步骤 4.2.1.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{- 2} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

解题步骤 4.2.2

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

解题步骤 4.2.3

将 $- y^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

解题步骤 4.3.2

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.2.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 4.3.2.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 4.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int - e^{u} d u$

解题步骤 4.3.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - - \int e^{u} d u$

解题步骤 4.3.4

化简。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u$

解题步骤 4.3.4.2

将 $\int e^{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{u} d u$

解题步骤 4.3.5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{u} + C_{2}$

解题步骤 4.3.6

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{\cos (x)} + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1, 1$

解题步骤 5.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 5.2

将 $- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 5.2.1

将 $- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$- \frac{1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

解题步骤 5.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

解题步骤 5.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = e^{\cos (x)} y + K y$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $e^{\cos (x)} y + K y$ 中的因式重新排序。

$- 1 = y e^{\cos (x)} + K y$

解题步骤 5.3

求解方程。

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解题步骤 5.3.1

将方程重写为 $y e^{\cos (x)} + K y = - 1$ 。

$y e^{\cos (x)} + K y = - 1$

解题步骤 5.3.2

从 $y e^{\cos (x)} + K y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $K y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y e^{\cos (x)} + y K = - 1$

解题步骤 5.3.2.2

从 $y e^{\cos (x)} + y K$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$

解题步骤 5.3.3

将 $y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ 中的每一项除以 $e^{\cos (x)} + K$ 并化简。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ 中的每一项都除以 $e^{\cos (x)} + K$ 。

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

解题步骤 5.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去 $e^{\cos (x)} + K$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

解题步骤 5.3.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

解题步骤 5.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{e^{\cos (x)} + K}$

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