微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x} - \frac{2}{x}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (\sqrt{x} - \frac{2}{x}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int \sqrt{x} d x + \int - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 2.3.5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.7

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

解题步骤 2.3.8

化简。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \ln (| x |) + C$

微积分学 示例