微积分学示例

$y \frac{d y}{d x} = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}}$

解题步骤 1

重写该方程。

$y d y = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $a$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 1 + \frac{x}{b}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{b} d x$ ，以便 $b d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 1 + \frac{x}{b}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $1 + \frac{x}{b}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{x}{b}]$

解题步骤 2.3.2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

根据加法法则， $1 + \frac{x}{b}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

解题步骤 2.3.2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

因为 $\frac{1}{b}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{b}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + \frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + \frac{1}{b} \cdot 1$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

将 $\frac{1}{b}$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{1}{b}$

解题步骤 2.3.2.1.4

将 $0$ 和 $\frac{1}{b}$ 相加。

$\frac{1}{b}$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{b}} d u$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{b}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} (1 b) d u$

解题步骤 2.3.3.2

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} b d u$

解题步骤 2.3.3.3

组合 $\frac{1}{u^{2}}$ 和 $b$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{b}{u^{2}} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $b$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $b$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a (b \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

解题步骤 2.3.5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.5.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3.5.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{- 2} d u$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- u^{- 1} + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $a b (- u^{- 1} + C_{2})$ 重写为 $a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

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解题步骤 2.3.7.2.1

组合 $a$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = b (- \frac{a}{u}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

组合 $b$ 和 $\frac{a}{u}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $1 + \frac{x}{b}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

化简分母。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b}{b} + \frac{x}{b}} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.1.2

在公分母上合并分子。

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b + x}{b}} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y^{2} = 2 (- (b a \frac{b}{b + x}) + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

乘以 $b a \frac{b}{b + x}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.3.1

组合 $b$ 和 $\frac{b}{b + x}$ 。

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b \cdot b}{b + x}) + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3.2

对 $b$ 进行 $1$ 次方运算。

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b}{b + x}) + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3.3

对 $b$ 进行 $1$ 次方运算。

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b^{1}}{b + x}) + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1 + 1}}{b + x}) + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{2}}{b + x}) + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3.6

组合 $a$ 和 $\frac{b^{2}}{b + x}$ 。

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

要将 $K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{b + x}{b + x}$ 。

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + \frac{K (b + x)}{b + x})$

解题步骤 3.2.2.1.3

在公分母上合并分子。

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K (b + x)}{b + x}$

解题步骤 3.2.2.1.4

运用分配律。

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$

解题步骤 3.2.2.1.5

化简项。

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解题步骤 3.2.2.1.5.1

组合 $2$ 和 $\frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$ 。

$y^{2} = \frac{2 (- a b^{2} + K b + K x)}{b + x}$

解题步骤 3.2.2.1.5.2

从 $- a b^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) + K b + K x)}{b + x}$

解题步骤 3.2.2.1.5.3

从 $K b$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) - (- K b) + K x)}{b + x}$

解题步骤 3.2.2.1.5.4

从 $- (a b^{2}) - (- K b)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) + K x)}{b + x}$

解题步骤 3.2.2.1.5.5

从 $K x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) - (- K x))}{b + x}$

解题步骤 3.2.2.1.5.6

从 $- (a b^{2} - K b) - (- K x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

解题步骤 3.2.2.1.5.7

化简表达式。

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解题步骤 3.2.2.1.5.7.1

将 $- (a b^{2} - K b - K x)$ 重写为 $- 1 (a b^{2} - K b - K x)$ 。

$y^{2} = \frac{2 (- 1 (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

解题步骤 3.2.2.1.5.7.2

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$

微积分学 示例

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