微积分学示例

$x \frac{d v}{d x} = \frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $x \frac{d v}{d x} = \frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $x \frac{d v}{d x} = \frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} = \frac{\frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}}{x}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} = \frac{\frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}}{x}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d v}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{\frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}}{x}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d v}{d x} = \frac{1 - 4 v^{2}}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 1.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{1^{2} - 4 v^{2}}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 1.1.3.2.2

将 $4 v^{2}$ 重写为 ${(2 v)}^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{1^{2} - {(2 v)}^{2}}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 1.1.3.2.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = 2 v$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{(1 + 2 v) (1 - (2 v))}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 1.1.3.2.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 1.1.3.3

将 $\frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v x}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d v}{d x} = \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}$ 。

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} (\frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \cdot \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v x}$

解题步骤 1.4.2

约去 $3 v$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $3 v x$ 中分解出因数 $3 v$ 。

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \cdot \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v (x)}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \cdot \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v x}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \cdot \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{x}$

解题步骤 1.4.3

约去 $(1 + 2 v) (1 - 2 v)$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1

约去公因数。

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \cdot \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{x}$

解题步骤 1.4.3.2

重写表达式。

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} d v = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} d v = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $3$ 对于 $v$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} d v = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

使 $u = (1 + 2 v) (1 - 2 v)$ 。然后使 $d u = - 8 v d v$ ，以便 $- \frac{1}{8} d u = v d v$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = (1 + 2 v) (1 - 2 v)$ 。求 $\frac{d u}{d v}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $(1 + 2 v) (1 - 2 v)$ 求导。

$\frac{d}{d v} [(1 + 2 v) (1 - 2 v)]$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ 等于 $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ ，其中 $f (v) = 1 + 2 v$ 且 $g (v) = 1 - 2 v$ 。

$(1 + 2 v) \frac{d}{d v} [1 - 2 v] + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

解题步骤 2.2.2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

根据加法法则， $1 - 2 v$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- 2 v]$ 。

$(1 + 2 v) (\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- 2 v]) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

因为 $1$ 对于 $v$ 是常数，所以 $1$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + 2 v) (0 + \frac{d}{d v} [- 2 v]) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

解题步骤 2.2.2.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d v} [- 2 v]$ 相加。

$(1 + 2 v) \frac{d}{d v} [- 2 v] + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

解题步骤 2.2.2.1.3.4

因为 $- 2$ 对于 $v$ 是常数，所以 $- 2 v$ 对 $v$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ 。

$(1 + 2 v) (- 2 \frac{d}{d v} [v]) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

解题步骤 2.2.2.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 + 2 v) (- 2 \cdot 1) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

解题步骤 2.2.2.1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.1.3.6.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(1 + 2 v) \cdot - 2 + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

解题步骤 2.2.2.1.3.6.2

将 $- 2$ 移到 $1 + 2 v$ 的左侧。

$- 2 \cdot (1 + 2 v) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

解题步骤 2.2.2.1.3.7

根据加法法则， $1 + 2 v$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [2 v]$ 。

$- 2 (1 + 2 v) + (1 - 2 v) (\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [2 v])$

解题步骤 2.2.2.1.3.8

因为 $1$ 对于 $v$ 是常数，所以 $1$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 (1 + 2 v) + (1 - 2 v) (0 + \frac{d}{d v} [2 v])$

解题步骤 2.2.2.1.3.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d v} [2 v]$ 相加。

$- 2 (1 + 2 v) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [2 v]$

解题步骤 2.2.2.1.3.10

因为 $2$ 对于 $v$ 是常数，所以 $2 v$ 对 $v$ 的导数是 $2 \frac{d}{d v} [v]$ 。

$- 2 (1 + 2 v) + (1 - 2 v) (2 \frac{d}{d v} [v])$

解题步骤 2.2.2.1.3.11

将 $2$ 移到 $1 - 2 v$ 的左侧。

$- 2 (1 + 2 v) + 2 \cdot (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [v]$

解题步骤 2.2.2.1.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 (1 + 2 v) + 2 (1 - 2 v) \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.1.3.13

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (1 + 2 v) + 2 (1 - 2 v)$

解题步骤 2.2.2.1.4

化简。

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解题步骤 2.2.2.1.4.1

运用分配律。

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 v) + 2 (1 - 2 v)$

解题步骤 2.2.2.1.4.2

运用分配律。

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 v) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 v)$

解题步骤 2.2.2.1.4.3

合并项。

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解题步骤 2.2.2.1.4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 2 (2 v) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 v)$

解题步骤 2.2.2.1.4.3.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 - 4 v + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 v)$

解题步骤 2.2.2.1.4.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 4 v + 2 + 2 (- 2 v)$

解题步骤 2.2.2.1.4.3.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 - 4 v + 2 - 4 v$

解题步骤 2.2.2.1.4.3.5

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$- 4 v + 0 - 4 v$

解题步骤 2.2.2.1.4.3.6

将 $- 4 v$ 和 $0$ 相加。

$- 4 v - 4 v$

解题步骤 2.2.2.1.4.3.7

从 $- 4 v$ 中减去 $4 v$ 。

$- 8 v$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 8} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$3 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{8}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.3.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{8}$ 。

$3 \int - \frac{1}{u \cdot 8} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.3.3

将 $8$ 移到 $u$ 的左侧。

$3 \int - \frac{1}{8 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (- \int \frac{1}{8 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \int \frac{1}{8 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.6

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$- 3 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.7

化简。

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解题步骤 2.2.7.1

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $- 3$ 。

$\frac{- 3}{8} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.7.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{8} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{3}{8} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.9

化简。

$- \frac{3}{8} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.10

使用 $(1 + 2 v) (1 - 2 v)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{3}{8} \ln (| (1 + 2 v) (1 - 2 v) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \frac{3}{8} \ln (| (1 + 2 v) (1 - 2 v) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{3}{8} \ln (| (1 + 2 v) (1 - 2 v) |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $v$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $- \frac{8}{3}$ 。

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| (1 + 2 v) (1 - 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| (1 + 2 v) (1 - 2 v) |))$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + 2 v) (1 - 2 v)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1.1

运用分配律。

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 (1 - 2 v) + 2 v (1 - 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.1.2

运用分配律。

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- 2 v) + 2 v (1 - 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.1.3

运用分配律。

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- 2 v) + 2 v \cdot 1 + 2 v (- 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 + 1 (- 2 v) + 2 v \cdot 1 + 2 v (- 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.2

将 $- 2 v$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v \cdot 1 + 2 v (- 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v + 2 v (- 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v + 2 \cdot - 2 v \cdot v |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.5

通过指数相加将 $v$ 乘以 $v$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1.5.1

移动 $v$ 。

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v + 2 \cdot - 2 (v \cdot v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.5.2

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v + 2 \cdot - 2 v^{2} |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.6

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v - 4 v^{2} |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

将 $- 2 v$ 和 $2 v$ 相加。

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 + 0 - 4 v^{2} |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 4 v^{2} |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.3

组合 $\ln (| 1 - 4 v^{2} |)$ 和 $\frac{3}{8}$ 。

$- \frac{8}{3} (- \frac{\ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8}) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.4

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.4.1

将 $- \frac{8}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 8}{3} (- \frac{\ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8}) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.4.2

将 $- \frac{\ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 8}{3} \cdot \frac{- \ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.4.3

从 $- 8$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- 1)}{3} \cdot \frac{- \ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.4.4

约去公因数。

$\frac{8 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- \ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.4.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{3} (- \ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.5.1

从 $- \ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- 1}{3} (3 \cdot (- \ln (| 1 - 4 v^{2} |))) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.5.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{3} (3 \cdot (- \ln (| 1 - 4 v^{2} |))) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.5.3

重写表达式。

$- - \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.6

乘。

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解题步骤 3.2.1.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.6.2

将 $\ln (| 1 - 4 v^{2} |)$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $- \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8}{3} \ln (| x |) - \frac{8}{3} C$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

组合 $\ln (| x |)$ 和 $\frac{8}{3}$ 。

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 8}{3} - \frac{8}{3} C$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

组合 $C$ 和 $\frac{8}{3}$ 。

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 8}{3} - \frac{C \cdot 8}{3}$

解题步骤 3.2.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

将 $8$ 移到 $\ln (| x |)$ 的左侧。

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8 \cdot \ln (| x |)}{3} - \frac{C \cdot 8}{3}$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

将 $8$ 移到 $C$ 的左侧。

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8 \ln (| x |)}{3} - \frac{8 C}{3}$

解题步骤 3.3

将 $\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8 \ln (| x |)}{3} - \frac{8 C}{3}$ 中的每一项乘以 $3$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8 \ln (| x |)}{3} - \frac{8 C}{3}$ 中的每一项乘以 $3$ 。

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3 = - \frac{8 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 - \frac{8 C}{3} \cdot 3$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $3$ 移到 $\ln (| 1 - 4 v^{2} |)$ 的左侧。

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 - \frac{8 C}{3} \cdot 3$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.1.1

将 $- \frac{8 \ln (| x |)}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = \frac{- 8 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 - \frac{8 C}{3} \cdot 3$

解题步骤 3.3.3.1.1.2

约去公因数。

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = \frac{- 8 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 - \frac{8 C}{3} \cdot 3$

解题步骤 3.3.3.1.1.3

重写表达式。

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - 8 \ln (| x |) - \frac{8 C}{3} \cdot 3$

解题步骤 3.3.3.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

将 $- \frac{8 C}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - 8 \ln (| x |) + \frac{- 8 C}{3} \cdot 3$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

约去公因数。

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - 8 \ln (| x |) + \frac{- 8 C}{3} \cdot 3$

解题步骤 3.3.3.1.2.3

重写表达式。

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - 8 \ln (| x |) - 8 C$

解题步骤 3.4

将所有包含对数的项移到等式左边。

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) + 8 \ln (| x |) = - 8 C$

解题步骤 3.5

化简左边。

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解题步骤 3.5.1

化简 $3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) + 8 \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |)$ 。

$\ln ({| 1 - 4 v^{2} |}^{3}) + 8 \ln (| x |) = - 8 C$

解题步骤 3.5.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $8 \ln (| x |)$ 。

$\ln ({| 1 - 4 v^{2} |}^{3}) + \ln ({| x |}^{8}) = - 8 C$

解题步骤 3.5.1.1.3

去掉 ${| x |}^{8}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln ({| 1 - 4 v^{2} |}^{3}) + \ln (x^{8}) = - 8 C$

解题步骤 3.5.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ({| 1 - 4 v^{2} |}^{3} x^{8}) = - 8 C$

解题步骤 3.5.1.3

将 $\ln ({| 1 - 4 v^{2} |}^{3} x^{8})$ 中的因式重新排序。

$\ln (x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3}) = - 8 C$

解题步骤 3.6

要求解 $v$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3})} = e^{- 8 C}$

解题步骤 3.7

使用对数的定义将 $\ln (x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3}) = - 8 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 8 C} = x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3}$

解题步骤 3.8

求解 $v$ 。

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解题步骤 3.8.1

将方程重写为 $x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3} = e^{- 8 C}$ 。

$x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3} = e^{- 8 C}$

解题步骤 3.8.2

将 $x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3} = e^{- 8 C}$ 中的每一项除以 $x^{8}$ 并化简。

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解题步骤 3.8.2.1

将 $x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3} = e^{- 8 C}$ 中的每一项都除以 $x^{8}$ 。

$\frac{x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3}}{x^{8}} = \frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}$

解题步骤 3.8.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.8.2.2.1

约去 $x^{8}$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3}}{x^{8}} = \frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}$

解题步骤 3.8.2.2.1.2

用 ${| 1 - 4 v^{2} |}^{3}$ 除以 $1$ 。

${| 1 - 4 v^{2} |}^{3} = \frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}$

解题步骤 3.8.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$| 1 - 4 v^{2} | = \sqrt[3]{\frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.8.4

化简 $\sqrt[3]{\frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}}$ 。

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解题步骤 3.8.4.1

将 $\frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x^{2}})}^{3} \frac{e^{- 8 C}}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.8.4.1.1

从 $e^{- 8 C}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{3}$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{- 8 C}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.8.4.1.2

从 $x^{8}$ 中因式分解出完全幂数 ${(x^{2})}^{3}$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{- 8 C}}{{(x^{2})}^{3} x^{2}}}$

解题步骤 3.8.4.1.3

重新整理分数 $\frac{1^{3} e^{- 8 C}}{{(x^{2})}^{3} x^{2}}$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \sqrt[3]{{(\frac{1}{x^{2}})}^{3} \frac{e^{- 8 C}}{x^{2}}}$

解题步骤 3.8.4.2

从根式下提出各项。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{1}{x^{2}} \sqrt[3]{\frac{e^{- 8 C}}{x^{2}}}$

解题步骤 3.8.4.3

将 $\sqrt[3]{\frac{e^{- 8 C}}{x^{2}}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 3.8.4.4

合并。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{1 \sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 3.8.4.5

将 $\sqrt[3]{e^{- 8 C}}$ 乘以 $1$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 3.8.4.6

将 $\frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 3.8.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.8.4.7.1

将 $\frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 3.8.4.7.2

移动 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} (\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2})}$

解题步骤 3.8.4.7.3

对 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} ({\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2})}$

解题步骤 3.8.4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.8.4.7.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

解题步骤 3.8.4.7.6

将 ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ 重写为 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.8.4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.8.4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.8.4.7.6.3

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $3$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

解题步骤 3.8.4.7.6.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{6}{3}}}$

解题步骤 3.8.4.7.6.5

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.4.7.6.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

解题步骤 3.8.4.7.6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.8.4.7.6.5.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

解题步骤 3.8.4.7.6.5.2.2

约去公因数。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

解题步骤 3.8.4.7.6.5.2.3

重写表达式。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{2}{1}}}$

解题步骤 3.8.4.7.6.5.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{2}}$

解题步骤 3.8.4.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.8.4.8.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2 + 2}}$

解题步骤 3.8.4.8.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 3.8.4.9

化简分子。

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解题步骤 3.8.4.9.1

将 ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{4}}$

解题步骤 3.8.4.9.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.8.4.9.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{4}}$

解题步骤 3.8.4.9.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{4}}$

解题步骤 3.8.4.9.3

因式分解出 $x^{3}$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{4}}$

解题步骤 3.8.4.9.4

从根式下提出各项。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{4}}$

解题步骤 3.8.4.9.5

使用根数乘积法则进行合并。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{x \sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x^{4}}$

解题步骤 3.8.4.10

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.8.4.10.1

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.4.10.1.1

从 $x \sqrt[3]{e^{- 8 C} x}$ 中分解出因数 $x$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{x \sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x^{4}}$

解题步骤 3.8.4.10.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.8.4.10.1.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{x \sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 3.8.4.10.1.2.2

约去公因数。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{x \sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 3.8.4.10.1.2.3

重写表达式。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x^{3}}$

解题步骤 3.8.4.10.2

将 $\frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x^{3}}$ 中的因式重新排序。

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}$

解题步骤 3.8.5

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$1 - 4 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}$

解题步骤 3.8.6

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 4 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} - 1$

解题步骤 3.8.7

将 $- 4 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} - 1$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 3.8.7.1

将 $- 4 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} - 1$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 v^{2}}{- 4} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 3.8.7.2

化简左边。

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解题步骤 3.8.7.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 v^{2}}{- 4} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 3.8.7.2.1.2

用 $v^{2}$ 除以 $1$ 。

$v^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 3.8.7.3

化简右边。

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解题步骤 3.8.7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.8.7.3.1.1

化简 $\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{- 4}$ 。

$v^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 3.8.7.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$v^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 3.8.8

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{4} + \frac{1}{4}}$

解题步骤 3.8.9

化简 $\pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{4} + \frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 3.8.9.1

在公分母上合并分子。

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1}{4}}$

解题步骤 3.8.9.2

将 $\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} (\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1)$ 。

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解题步骤 3.8.9.2.1

从 $\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$v = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1)}{4}}$

解题步骤 3.8.9.2.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$v = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1)}{2^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 3.8.9.2.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1)}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$v = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1)}$

解题步骤 3.8.9.3

从根式下提出各项。

$v = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1}$

解题步骤 3.8.9.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1}$ 。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1}}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x C}}{x^{3}} + 1}}{2}$

微积分学 示例

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