微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$ 乘以 $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$ 乘以 $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{(x^{3} + y^{3}) \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.4

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{1 + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.5

组合 $y^{3}$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 1.6

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y) \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 1.6.2

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y) \frac{1}{x^{2} x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 1.6.3

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{2} x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 1.6.4

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 1.7

组合 $y$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 1.8

使用商的乘方法则 $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{3}}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{3}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{3}}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1^{3} + V^{3}}$

解题步骤 6.1.1.1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1^{2} - 1 V + V^{2})}$

解题步骤 6.1.1.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.1.1.3.1

一的任意次幂都为一。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - 1 V + V^{2})}$

解题步骤 6.1.1.1.3.2

将 $- 1 V$ 重写为 $- V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$

解题步骤 6.1.1.2

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$

解题步骤 6.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.3.3.2.1

从 $\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ 中分解出因数 $V$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.3.2.1.1

从 $\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.1.2

从 $- V$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + V \cdot - 1}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.1.3

从 $V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + V \cdot - 1$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - 1)}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - 1 \cdot \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + \frac{- ((1 + V) (1 - V + V^{2}))}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - ((1 + V) (1 - V + V^{2}))}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.1

运用分配律。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 \cdot 1 - V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 - V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 1 - V) (1 - V + V^{2})$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - 1 (- V) - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.2

乘以 $- 1 (- V)$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 1 V - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.2.2

将 $V$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.3

将 $- 1 V^{2}$ 重写为 $- V^{2}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 V \cdot V - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.6

通过指数相加将 $V$ 乘以 $V$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.6.1

移动 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 (V \cdot V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.6.2

将 $V$ 乘以 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + 1 V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.8

将 $V^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.9

通过指数相加将 $V$ 乘以 $V^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.9.1

移动 $V^{2}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - (V^{2} V)}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2

将 $V^{2}$ 乘以 $V$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2.1

对 $V$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - (V^{2} V^{1})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{2 + 1}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.4.9.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.5

合并 $- 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.5.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{2} + 0 + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.5.2

将 $- 1 - V^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{2} + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.5.3

将 $- V^{2}$ 和 $V^{2}$ 相加。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 0 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.5.4

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.6

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{0 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.5.7

从 $0$ 中减去 $V^{3}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{- V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1 \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.7

合并指数。

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解题步骤 6.1.1.3.3.2.7.1

提取负因数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (V \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.7.2

组合 $V$ 和 $\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.7.3

通过指数相加将 $V$ 乘以 $V^{3}$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.3.2.7.3.1

将 $V$ 乘以 $V^{3}$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.3.2.7.3.1.1

对 $V$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{1} V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.7.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{1 + 3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2.7.3.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ 。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{x (1 + V) (1 - V + V^{2})}$

解题步骤 6.1.2

重新组合因数。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.3

两边同时乘以 $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}}$ 。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} (- \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 6.1.4

化简。

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解题步骤 6.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} (\frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 6.1.4.2

合并。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

解题步骤 6.1.4.3

约去 $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.3.1

将 $- \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

解题步骤 6.1.4.3.2

从 $- (1 + V) (1 - V + V^{2})$ 中分解出因数 $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ 。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (- 1)}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

解题步骤 6.1.4.3.3

从 $(1 + V) (1 - V + V^{2}) x$ 中分解出因数 $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ 。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (- 1)}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (x)}$

解题步骤 6.1.4.3.4

约去公因数。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) \cdot - 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

解题步骤 6.1.4.3.5

重写表达式。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{x}$

解题步骤 6.1.4.4

约去 $V^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.4.1

从 $V^{4} \cdot 1$ 中分解出因数 $V^{4}$ 。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} (1)}{x}$

解题步骤 6.1.4.4.2

约去公因数。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{x}$

解题步骤 6.1.4.4.3

重写表达式。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.5

重写该方程。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} d V = - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

通过将 $V^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) {(V^{4})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

将 ${(V^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{4 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

展开 $(1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{- 4}$ 。

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解题步骤 6.2.2.3.1

运用分配律。

$\int (1 (1 - V + V^{2}) + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.2

运用分配律。

$\int (1 (1 - V) + 1 V^{2} + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.3

运用分配律。

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.4

运用分配律。

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V (1 - V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.5

运用分配律。

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.6

运用分配律。

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2}) V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.7

运用分配律。

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V)) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.8

运用分配律。

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.9

运用分配律。

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.10

运用分配律。

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + V \cdot 1 V^{- 4} + V (- V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.11

将 $V$ 和 $1$ 重新排序。

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 \cdot V \cdot V^{- 4} + V (- V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.12

将 $V$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 \cdot V \cdot V^{- 4} - 1 \cdot V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.13

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.14

将 $V^{- 4}$ 乘以 $1$ 。

$\int V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.15

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int V^{- 4} - V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.16

提取负因数。

$\int V^{- 4} - (V \cdot V^{- 4}) + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.17

对 $V$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int V^{- 4} - (V^{1} V^{- 4}) + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int V^{- 4} - V^{1 - 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.19

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.20

将 $V^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{2 - 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.22

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.23

将 $V$ 乘以 $1$ 。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.24

对 $V$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{1} V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{1 - 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.26

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.27

提取负因数。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V \cdot V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.28

对 $V$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{1} V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.29

对 $V$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{1} V^{1}) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.30

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{1 + 1} V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.31

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{2} V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.32

提取负因数。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{2} V^{- 4}) + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.33

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{2 - 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.34

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.35

对 $V$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1} V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.36

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1 + 2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.37

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{3} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.38

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{3 - 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.39

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.40

将 $V^{- 4}$ 和 $- V^{- 3}$ 重新排序。

$\int - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.41

移动 $V^{- 4}$ 。

$\int - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 4} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.42

将 $- V^{- 3}$ 和 $V^{- 2}$ 重新排序。

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.43

将 $V^{- 3}$ 和 $- V^{- 2}$ 重新排序。

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} - V^{- 2} + V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.44

移动 $V^{- 3}$ 。

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} - V^{- 2} + V^{- 1} + V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.45

将 $- V^{- 2}$ 和 $V^{- 1}$ 重新排序。

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.46

移动 $V^{- 4}$ 。

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.47

移动 $- V^{- 3}$ 。

$\int V^{- 2} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.48

将 $V^{- 2}$ 和 $V^{- 1}$ 重新排序。

$\int V^{- 1} + V^{- 2} - V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.49

从 $V^{- 2}$ 中减去 $V^{- 2}$ 。

$\int V^{- 1} + 0 + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.50

将 $V^{- 1}$ 和 $0$ 相加。

$\int V^{- 1} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.51

从 $V^{- 3}$ 中减去 $V^{- 3}$ 。

$\int V^{- 1} + 0 + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.52

将 $V^{- 1}$ 和 $0$ 相加。

$\int V^{- 1} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int V^{- 1} d V + \int V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5

$V^{- 1}$ 对 $V$ 的积分为 $\ln (| V |)$ 。

$\ln (| V |) + C_{1} + \int V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.6

根据幂法则， $V^{- 4}$ 对 $V$ 的积分是 $- \frac{1}{3} V^{- 3}$ 。

$\ln (| V |) + C_{1} - \frac{1}{3} V^{- 3} + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.7

化简。

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解题步骤 6.2.2.7.1

化简。

$\ln (| V |) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{V^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.7.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.7.2.1

将 $\frac{1}{V^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\ln (| V |) - \frac{1}{V^{3} \cdot 3} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.7.2.2

将 $3$ 移到 $V^{3}$ 的左侧。

$\ln (| V |) - \frac{1}{3 V^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.8

重新排序项。

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

对右边积分。

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解题步骤 6.2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

解题步骤 6.2.3.3

化简。

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$- \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $- \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ 。

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解题步骤 8.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

解题步骤 8.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

解题步骤 8.3

乘以 $| \frac{y}{x} | | x |$ 。

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解题步骤 8.3.1

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

解题步骤 8.3.2

组合 $\frac{y}{x}$ 和 $x$ 。

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

解题步骤 8.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1

约去公因数。

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

解题步骤 8.4.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

解题步骤 8.5

化简每一项。

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解题步骤 8.5.1

对 $\frac{y}{x}$ 运用乘积法则。

$\ln (| y |) = \frac{1}{3 (\frac{y^{3}}{x^{3}})} + C$

解题步骤 8.5.2

组合 $3$ 和 $\frac{y^{3}}{x^{3}}$ 。

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{3 y^{3}}{x^{3}}} + C$

解题步骤 8.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{3}}{3 y^{3}}) + C$

解题步骤 8.5.4

将 $\frac{x^{3}}{3 y^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + C$

微积分学 示例

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