微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $\frac{y}{2 + 3 y}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

解题步骤 1.1.3.3

将 $\frac{y}{(2 + 3 y) x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (2 + 3 y)}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{2 + 3 y}{y}$ 。

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} (\frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{y}{2 + 3 y}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

解题步骤 1.4.2

约去 $2 + 3 y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $(2 + 3 y) x$ 中分解出因数 $2 + 3 y$ 。

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) (x)}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 1.4.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1

约去公因数。

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 1.4.3.2

重写表达式。

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{2 + 3 y}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{2 + 3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{2}{y} + \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

约去公因数。

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.3.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\int \frac{2}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{1}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.5

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.6

应用常数不变法则。

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.7

化简。

$2 \ln (| y |) + 3 y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.8

重新排序项。

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$3 y + 2 \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

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