微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 3 x - x y$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

因数。

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解题步骤 1.1.1

从 $3 x - x y$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 3 - x y$

解题步骤 1.1.1.2

从 $- x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 3 + x (- 1 y)$

解题步骤 1.1.1.3

从 $x \cdot 3 + x (- 1 y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = x (3 - 1 y)$

解题步骤 1.1.2

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{d y}{d x} = x (3 - y)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{3 - y}$ 。

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} (x (3 - y))$

解题步骤 1.3

约去 $3 - y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $x (3 - y)$ 中分解出因数 $3 - y$ 。

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} ((3 - y) x)$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} ((3 - y) x)$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{3 - y} d y = x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 3 - y$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 3 - y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.2.1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.2

将分数分解成多个分数。

$\int - \frac{1}{u} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.2.6

使用 $3 - y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| 3 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- \ln (| 3 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- \ln (| 3 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $\ln (| 3 - y |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

移动 $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将 $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ 重写为 $- (\frac{1}{2} x^{2})$ 。

$\ln (| 3 - y |) = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\ln (| 3 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.4

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| 3 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot C$

解题步骤 3.1.3.1.5

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\ln (| 3 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - C$

解题步骤 3.2

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 3 - y |)} = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\ln (| 3 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} = | 3 - y |$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $| 3 - y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$ 。

$| 3 - y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

解题步骤 3.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$3 - y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

解题步骤 3.4.3

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 3$

解题步骤 3.4.4

将 $- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 3$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.3.1.1

移动 $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3.1.2

将 $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C})$ 重写为 $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C})$ 。

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3.1.3

用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + 3$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}) + 3$

解题步骤 4.2

将 $e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$ 重写为 $e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ 。

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}) + 3$

解题步骤 4.3

将 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + 3$

解题步骤 4.4

用加号或减号合并常数。

$y = - (C e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + 3$

微积分学 示例

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