微积分学示例

$(\frac{1}{y}) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = \frac{1}{y}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{y}$ 重写为 $y^{- 1}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y^{- 2}$

解题步骤 1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{y^{2}}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 y - \frac{x}{y^{2}})]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $3 y - \frac{x}{y^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

解题步骤 2.4

因为 $3 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$

解题步骤 2.6

因为 $- \frac{1}{y^{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{y^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.7

乘。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 (\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.7.2

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

解题步骤 2.9

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- \frac{1}{y^{2}}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $\frac{1}{y^{2}}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $\frac{1}{y^{2}}$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $- \frac{1}{y^{2}}$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $\frac{1}{y}$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $\frac{1}{y}$ 替换 $M$ 。

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y}}$

解题步骤 4.3.2

将分子乘以分母的倒数。

$(\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}) y$

解题步骤 4.3.3

乘以 $- - \frac{1}{y^{2}}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} + 1 \frac{1}{y^{2}}) y$

解题步骤 4.3.3.2

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) y$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + 1}{y^{2}} y$

解题步骤 4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{y^{2}} y$

解题步骤 4.3.6

代入 $\frac{1}{y}$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.6.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{2}{y \cdot y} y$

解题步骤 4.3.6.2

约去公因数。

$\frac{2}{y \cdot y} y$

解题步骤 4.3.6.3

重写表达式。

$\frac{2}{y}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 5.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 5.3

化简。

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

解题步骤 5.4

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

解题步骤 5.4.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

解题步骤 5.4.3

去掉 ${| y |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = y^{2} + C$

解题步骤 6

在 $\frac{1}{y} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $y^{2}$ 。

$\frac{1}{y} y^{2} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

解题步骤 6.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ 乘以 $y^{2}$ 。

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$y d x + (- (3 y) - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$y d x + (- 3 y - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

解题步骤 6.6

乘以 $- - \frac{x}{y^{2}}$ 。

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解题步骤 6.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y d x + (- 3 y + 1 \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

解题步骤 6.6.2

将 $\frac{x}{y^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$y d x + (- 3 y + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

解题步骤 6.7

运用分配律。

$y d x + (- 3 y \cdot y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.8

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 6.8.1

移动 $y^{2}$ 。

$y d x + (- 3 (y^{2} y) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.8.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 6.8.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y d x + (- 3 (y^{2} y^{1}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y d x + (- 3 y^{2 + 1} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.8.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.9

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.9.1

约去公因数。

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.9.2

重写表达式。

$y d x + (- 3 y^{3} + x) d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int y d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = y$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = y x + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = y x + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 3 y^{3} + x$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = - 3 y^{3} + x$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $y x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d y} [y x]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y x$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

解题步骤 11.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

解题步骤 11.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x + \frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x$

解题步骤 11.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + x = - 3 y^{3} + x$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x - x$

解题步骤 12.1.2

合并 $- 3 y^{3} + x - x$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + 0$

解题步骤 12.1.2.2

将 $- 3 y^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$

解题步骤 13

求 $- 3 y^{3}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y^{3} d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int - 3 y^{3} d y$

解题步骤 13.3

由于 $- 3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$g (y) = - 3 \int y^{3} d y$

解题步骤 13.4

根据幂法则， $y^{3}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{4} y^{4}$ 。

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

解题步骤 13.5

化简答案。

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解题步骤 13.5.1

将 $- 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ 重写为 $- 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ 。

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

解题步骤 13.5.2

化简。

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解题步骤 13.5.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$g (y) = \frac{- 3}{4} y^{4} + C$

解题步骤 13.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$g (y) = - \frac{3}{4} y^{4} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = y x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = y x - \frac{3}{4} y^{4} + C$

解题步骤 15

化简每一项。

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解题步骤 15.1

组合 $y^{4}$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$f (x, y) = y x - \frac{y^{4} \cdot 3}{4} + C$

解题步骤 15.2

将 $3$ 移到 $y^{4}$ 的左侧。

$f (x, y) = y x - \frac{3 y^{4}}{4} + C$

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