微积分学示例

$\frac{2 d y}{d x} + y = 3$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

因式分解出 $\frac{d y}{d x}$ 。

$2 \frac{d y}{d x} + y = 3$

解题步骤 1.2

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.2.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$

解题步骤 1.2.2

将 $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}}$ 。

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

解题步骤 1.4

约去 $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{2} d y$ ，以便 $- 2 d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} - \frac{y}{2}]$

解题步骤 2.2.1.1.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

根据加法法则， $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{3}{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

解题步骤 2.2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- \frac{y}{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 2.2.1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.2.2

将两个负数相除得到一个正数。

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.2.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d x$

解题步骤 2.2.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d x$

解题步骤 2.2.2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.2.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$\int \frac{- 2}{u} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.2.7

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{2}{u} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{2}{u} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- (2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- 2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

解题步骤 2.2.7

化简。

$- 2 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.8

使用 $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.9

重新排序项。

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

解题步骤 3.1.2.2

组合 $y$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} + \frac{C}{- 2}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$

解题步骤 3.2

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |)} = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} = | \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ 。

$| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

解题步骤 3.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$\frac{3}{2} - \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

解题步骤 3.4.3

从等式两边同时减去 $\frac{3}{2}$ 。

$- \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2}$

解题步骤 3.4.4

等式两边同时乘以 $- 2$ 。

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

解题步骤 3.4.5

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.5.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.5.1.1

化简 $- 2 (- \frac{y}{2})$ 。

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解题步骤 3.4.5.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.5.1.1.1.1

将 $- \frac{y}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

解题步骤 3.4.5.1.1.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

解题步骤 3.4.5.1.1.1.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

解题步骤 3.4.5.1.1.1.4

重写表达式。

$- - y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

解题步骤 3.4.5.1.1.2

乘。

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解题步骤 3.4.5.1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

解题步骤 3.4.5.1.1.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

解题步骤 3.4.5.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.5.2.1

化简 $- 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$ 。

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解题步骤 3.4.5.2.1.1

要将 $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - 2 ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

解题步骤 3.4.5.2.1.2

化简项。

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解题步骤 3.4.5.2.1.2.1

组合 $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - 2 (\frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

解题步骤 3.4.5.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$y = - 2 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

解题步骤 3.4.5.2.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.5.2.1.2.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = 2 (- 1) \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

解题步骤 3.4.5.2.1.2.3.2

约去公因数。

$y = 2 \cdot - 1 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

解题步骤 3.4.5.2.1.2.3.3

重写表达式。

$y = - ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3)$

解题步骤 3.4.5.2.1.3

将 $2$ 移到 $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ 的左侧。

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - 3)$

解题步骤 3.4.5.2.1.4

通过相乘进行化简。

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解题步骤 3.4.5.2.1.4.1

运用分配律。

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}})) - - 3$

解题步骤 3.4.5.2.1.4.2

乘。

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解题步骤 3.4.5.2.1.4.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - - 3$

解题步骤 3.4.5.2.1.4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) + 3$

解题步骤 3.4.6

将 $- \frac{x}{2}$ 和 $- \frac{C}{2}$ 重新排序。

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{2} - \frac{x}{2}}) + 3$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = - 2 (\pm e^{C - \frac{x}{2}}) + 3$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} + C}) + 3$

解题步骤 4.3

将 $e^{- \frac{x}{2} + C}$ 重写为 $e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$ 。

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2}} e^{C}) + 3$

解题步骤 4.4

将 $e^{- \frac{x}{2}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{x}{2}}) + 3$

解题步骤 4.5

用加号或减号合并常数。

$y = - 2 (C e^{- \frac{x}{2}}) + 3$

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