微积分学示例

$x y^{4} d x + (y^{2} + 2) e^{x} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x y^{4} d x$ 。

$(y^{2} + 2) e^{x} d y = - x y^{4} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{e^{x} y^{4}}$ 。

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

从 $e^{x} y^{4}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

解题步骤 3.1.2

从 $(y^{2} + 2) e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

解题步骤 3.1.3

约去公因数。

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

解题步骤 3.1.4

重写表达式。

$\frac{1}{y^{4}} (y^{2} + 2) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{y^{4}}$ 乘以 $y^{2} + 2$ 。

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y^{4}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

将 $- \frac{1}{e^{x} y^{4}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

解题步骤 3.4.2

从 $e^{x} y^{4}$ 中分解出因数 $y^{4}$ 。

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (x y^{4}) d x$

解题步骤 3.4.3

从 $x y^{4}$ 中分解出因数 $y^{4}$ 。

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

解题步骤 3.4.4

约去公因数。

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

解题步骤 3.4.5

重写表达式。

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x}} x d x$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{- 1}{e^{x}}$ 和 $x$ 。

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- x}{e^{x}} d x$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

通过将 $y^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (y^{2} + 2) {(y^{4})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2.1.2

将 ${(y^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (y^{2} + 2) y^{4 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (y^{2} + 2) y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2.2

乘以 $(y^{2} + 2) y^{- 4}$ 。

$\int y^{2} y^{- 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2.3

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{- 4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int y^{2 - 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2.3.2

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\int y^{- 2} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y^{- 2} d y + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2.5

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$- y^{- 1} + C_{1} + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2.6

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 \int y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2.7

根据幂法则， $y^{- 4}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ 。

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2.8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.8.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.8.1.1

组合 $y^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2.8.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- 3}$ 移动到分母。

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2.8.2

化简。

$- \frac{1}{y} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2.8.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.8.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{y} - 2 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2.8.3.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3 y^{3}}$ 。

$- \frac{1}{y} + \frac{- 2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2.8.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.3.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

将 $e^{x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.3.2.2

将 ${(e^{x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{x \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.3.2.2.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

解题步骤 4.3.2.2.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- x} d x$

解题步骤 4.3.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

解题步骤 4.3.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

解题步骤 4.3.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

解题步骤 4.3.5.2

将 $\int e^{- x} d x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

解题步骤 4.3.6

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.6.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.6.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.3.6.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 4.3.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.3.6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

解题步骤 4.3.7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

解题步骤 4.3.8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$

解题步骤 4.3.9

将 $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$ 重写为 $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$ 。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$

解题步骤 4.3.10

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{4}$

解题步骤 4.3.11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.11.1

运用分配律。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

解题步骤 4.3.11.2

乘以 $- (- x e^{- x})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

解题步骤 4.3.11.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} - - e^{- x} + C_{4}$

解题步骤 4.3.11.3

乘以 $- - e^{- x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.11.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C_{4}$

解题步骤 4.3.11.3.2

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + e^{- x} + C_{4}$

解题步骤 4.3.12

重新排序项。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = e^{- x} x + e^{- x} + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} = e^{- x} x + e^{- x} + K$

微积分学 示例

微积分学示例