微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$ , $y (- 3) = 7$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \cot (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \cot (x) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \cot (x) d x$

解题步骤 2.3

$\cot (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sin (x) |)$ 。

$y + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = \ln (| \sin (x) |) + C$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $- 3$ 代入 $x$ ，将 $7$ 代入 $y$ ，在 $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ 中求 $C$ 的值。

$7 = \ln (| \sin (- 3) |) + C$

解题步骤 4

求解 $C$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\ln (| \sin (- 3) |) + C = 7$ 。

$\ln (| \sin (- 3) |) + C = 7$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

计算 $\sin (- 3)$ 。

$\ln (| - 0.05233595 |) + C = 7$

解题步骤 4.2.1.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 0.05233595$ 和 $0$ 之间的距离为 $0.05233595$ 。

$\ln (0.05233595) + C = 7$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $\ln (0.05233595)$ 。

$C = 7 - \ln (0.05233595)$

解题步骤 5

代入 $7 - \ln (0.05233595)$ 替换 $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $7 - \ln (0.05233595)$ 替换 $C$ 。

$y = \ln (| \sin (x) |) + 7 - \ln (0.05233595)$

解题步骤 5.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$y = \ln (\frac{| \sin (x) |}{0.05233595}) + 7$

解题步骤 5.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1

乘以 $1$ 。

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.05233595}) + 7$

解题步骤 5.3.2

从 $0.05233595$ 中分解出因数 $0.05233595$ 。

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.05233595 (1)}) + 7$

解题步骤 5.3.3

分离分数。

$y = \ln (\frac{1}{0.05233595} \cdot \frac{| \sin (x) |}{1}) + 7$

解题步骤 5.3.4

用 $1$ 除以 $0.05233595$ 。

$y = \ln (19.1073226 \frac{| \sin (x) |}{1}) + 7$

解题步骤 5.3.5

用 $| \sin (x) |$ 除以 $1$ 。

$y = \ln (19.1073226 | \sin (x) |) + 7$

微积分学 示例

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