微积分学示例

$(2 x + y^{3}) d x + (3 x y^{2} - e^{2 y}) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y^{3}]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $2 x + y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 1.3

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 y^{2}$

解题步骤 1.5

将 $0$ 和 $3 y^{2}$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 3 x y^{2} - e^{2 y}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} - e^{2 y}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $3 x y^{2} - e^{2 y}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $3 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- e^{2 y}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{2 y}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $3 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3 y^{2}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $3 y^{2}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$3 y^{2} = 3 y^{2}$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$3 y^{2} = 3 y^{2}$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 2 x + y^{3} d x$

解题步骤 5

对 $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int y^{3} d x$

解题步骤 5.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int y^{3} d x$

解题步骤 5.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x$

解题步骤 5.4

应用常数不变法则。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C$

解题步骤 5.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C$

解题步骤 5.6

化简。

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + C$

解题步骤 6

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [x^{2} + y^{3} x + g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

解题步骤 8.2

求微分。

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解题步骤 8.2.1

根据加法法则， $x^{2} + y^{3} x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

解题步骤 8.2.2

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y^{3} x$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

解题步骤 8.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

解题步骤 8.3.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

将 $0$ 和 $3 x y^{2}$ 相加。

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

解题步骤 8.5.2

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 9.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去 $3 y^{2} x$ 。

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

解题步骤 9.1.2

合并 $3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.1

按照 $3 x y^{2}$ 和 $- 3 y^{2} x$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

解题步骤 9.1.2.2

从 $3 y^{2} x$ 中减去 $3 y^{2} x$ 。

$\frac{d g}{d y} = 0 - e^{2 y}$

解题步骤 9.1.2.3

从 $0$ 中减去 $e^{2 y}$ 。

$\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$

解题步骤 10

求 $- e^{2 y}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{2 y} d y$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int - e^{2 y} d y$

解题步骤 10.3

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = - \int e^{2 y} d y$

解题步骤 10.4

使 $u = 2 y$ 。然后使 $d u = 2 d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.4.1

设 $u = 2 y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 10.4.1.1

对 $2 y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [2 y]$

解题步骤 10.4.1.2

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$2 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 10.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 10.4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 10.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (y) = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 10.5

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (y) = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 10.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 10.7

去掉圆括号。

$g (y) = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

解题步骤 10.8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$g (y) = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

解题步骤 10.9

化简。

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

解题步骤 10.10

使用 $2 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

解题步骤 12

组合 $e^{2 y}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{e^{2 y}}{2} + C$

微积分学 示例

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