微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 10 x - 9$ 和 $y (5) = 0$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (10 x - 9) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 10 x - 9 d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 10 x - 9 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 10 x d x + \int - 9 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 10 \int x d x + \int - 9 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 9 d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 10 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$y + C_{1} = 5 x^{2} - 9 x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 5 x^{2} - 9 x + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $5$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = 5 x^{2} - 9 x + K$ 中求 $K$ 的值。

$0 = 5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$ 。

$5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

解题步骤 4.2

化简 $5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

通过指数相加将 $5$ 乘以 $5^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

将 $5$ 乘以 $5^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1.1

对 $5$ 进行 $1$ 次方运算。

$5^{1} \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

解题步骤 4.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5^{1 + 2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

解题步骤 4.2.1.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$5^{3} - 9 \cdot 5 + K = 0$

解题步骤 4.2.1.2

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$125 - 9 \cdot 5 + K = 0$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 9$ 乘以 $5$ 。

$125 - 45 + K = 0$

解题步骤 4.2.2

从 $125$ 中减去 $45$ 。

$80 + K = 0$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $80$ 。

$K = - 80$

解题步骤 5

代入 $- 80$ 替换 $y = 5 x^{2} - 9 x + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 80$ 替换 $K$ 。

$y = 5 x^{2} - 9 x - 80$

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