微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $1 + y$ 。

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = (1 + y) \frac{x}{1 + y}$

解题步骤 1.2

约去 $1 + y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = (1 + y) \frac{x}{1 + y}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(1 + y) d y = x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 1 + y d y = \int x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d y + \int y d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} + \int y d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$y + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int x d x$

解题步骤 2.2.4

化简。

$y + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x$

解题步骤 2.2.5

重新排序项。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{2}}{2} + K$

解题步骤 3.3

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} = K$

解题步骤 3.3.2

从等式两边同时减去 $K$ 。

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

解题步骤 3.4

全部乘以最小公分母 $2$ ，然后化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2

化简。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.1.2

重写表达式。

$y^{2} + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $- \frac{x^{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.2.2

约去公因数。

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.2.3

重写表达式。

$y^{2} + 2 y - x^{2} + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} + 2 y - x^{2} - 2 K = 0$

解题步骤 3.4.3

移动 $2 y$ 。

$y^{2} - x^{2} - 2 K + 2 y = 0$

解题步骤 3.4.4

将 $y^{2}$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} + y^{2} - 2 K + 2 y = 0$

解题步骤 3.5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.6

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = - x^{2} - 2 K$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.7.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.3

运用分配律。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{2}) - 4 (- 2 K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} - 4 (- 2 K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.6

从 $4 + 4 x^{2} + 8 K$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.7.1.6.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 8 K}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.6.2

从 $8 K$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.6.3

从 $4 \cdot 1 + 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.6.4

从 $4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.7

将 $4 (1 + x^{2} + 2 K)$ 重写为 $2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K)$ 。

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解题步骤 3.7.1.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.7.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{2} + 2 K}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.9

一的任意次幂都为一。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2}$

解题步骤 3.7.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2}$ 。

$y = - 1 \pm \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

解题步骤 3.8

最终答案为两个解的组合。

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + K}$

微积分学 示例

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