微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + x e^{x} = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $x e^{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - x e^{x}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = - x e^{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int - x e^{x} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int - x e^{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - \int x e^{x} d x$

解题步骤 2.3.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$y + C_{1} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

解题步骤 2.3.3

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$y + C_{1} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

解题步骤 2.3.4

化简。

$y + C_{1} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - (x e^{x} - e^{x}) + K$

微积分学 示例