微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y^{3}$ 。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

解题步骤 1.2

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = e^{4 x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y^{3} d y = e^{4 x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{3} d y = \int e^{4 x} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y^{3}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{4} y^{4}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{4 x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = 4 x$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.3.1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{4 x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{4} e^{4 x} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $4$ 。

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $y^{4}$ 。

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$y^{4} = 4 (\frac{e^{4 x}}{4} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

约去公因数。

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

重写表达式。

$y^{4} = e^{4 x} + 4 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$

微积分学 示例

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