微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ , $y (0) = 2$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 1.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y^{2} d y = x^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

约去公因数。

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

重写表达式。

$y^{3} = x^{3} + 3 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $2$ 代入 $y$ ，在 $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ 中求 $K$ 的值。

$2 = \sqrt[3]{0^{3} + K}$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$ 。

$\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$

解题步骤 6.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{0^{3} + K}}^{3} = 2^{3}$

解题步骤 6.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{0^{3} + K}$ 重写成 ${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简 ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1

将 ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(0^{3} + K)}^{1} = 2^{3}$

解题步骤 6.3.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(0 + K)}^{1} = 2^{3}$

解题步骤 6.3.2.1.3

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K^{1} = 2^{3}$

解题步骤 6.3.2.1.4

化简。

$K = 2^{3}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$K = 8$

解题步骤 7

代入 $8$ 替换 $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $8$ 替换 $K$ 。

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 8}$

解题步骤 7.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 2^{3}}$

解题步骤 7.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}$

解题步骤 7.4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

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