微积分学示例

$4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1

设 $v = \frac{d y}{d x}$ 。然后 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 。将 $v$ 代入 $\frac{d y}{d x}$ ，将 $\frac{d v}{d x}$ 代入 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ，得到一个因变量 $v$ 和自变量 $x$ 的微分方程。

$4 \frac{d v}{d x} + v = 0$

解题步骤 2

分离变量。

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解题步骤 2.1

求解 $\frac{d v}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

从等式两边同时减去 $v$ 。

$4 \frac{d v}{d x} = - v$

解题步骤 2.1.2

将 $4 \frac{d v}{d x} = - v$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $4 \frac{d v}{d x} = - v$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

解题步骤 2.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

用 $\frac{d v}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{- v}{4}$

解题步骤 2.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} = - \frac{v}{4}$

解题步骤 2.2

两边同时乘以 $\frac{1}{v}$ 。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} (- \frac{v}{4})$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

解题步骤 2.3.2

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $- \frac{1}{v}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

解题步骤 2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

解题步骤 2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{4}$

解题步骤 2.4

重写该方程。

$\frac{1}{v} d v = - \frac{1}{4} d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{v} d v = \int - \frac{1}{4} d x$

解题步骤 3.2

$\frac{1}{v}$ 对 $v$ 的积分为 $\ln (| v |)$ 。

$\ln (| v |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4} d x$

解题步骤 3.3

应用常数不变法则。

$\ln (| v |) + C_{1} = - \frac{1}{4} x + C_{2}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $C_{3}$ 。

$\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$

解题步骤 4

求解 $v$ 。

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解题步骤 4.1

要求解 $v$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| v |)} = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

解题步骤 4.2

使用对数的定义将 $\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}} = | v |$

解题步骤 4.3

求解 $v$ 。

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解题步骤 4.3.1

将方程重写为 $| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$ 。

$| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

解题步骤 4.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$| v | = e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

解题步骤 4.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$v = \pm e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

解题步骤 5

将常数项组合在一起。

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解题步骤 5.1

将 $e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$ 重写为 $e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$ 。

$v = \pm e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$

解题步骤 5.2

将 $e^{- \frac{x}{4}}$ 和 $e^{C_{3}}$ 重新排序。

$v = \pm e^{C_{3}} e^{- \frac{x}{4}}$

解题步骤 5.3

用加号或减号合并常数。

$v = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

解题步骤 7

重写该方程。

$d y = C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

解题步骤 8

对两边积分。

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解题步骤 8.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

解题步骤 8.2

应用常数不变法则。

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

解题步骤 8.3

对右边积分。

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解题步骤 8.3.1

由于 $C_{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $C_{4}$ 移到积分外。

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{- \frac{x}{4}} d x$

解题步骤 8.3.2

使 $u = - \frac{x}{4}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{4} d x$ ，以便 $- 4 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.3.2.1

设 $u = - \frac{x}{4}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.3.2.1.1

对 $- \frac{x}{4}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]$

解题步骤 8.3.2.1.2

因为 $- \frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot 1$

解题步骤 8.3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 8.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{4}} d u$

解题步骤 8.3.3

化简。

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解题步骤 8.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

解题步骤 8.3.3.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{4}$ 。

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} (1 \cdot 4) d u$

解题步骤 8.3.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \cdot 4 d u$

解题步骤 8.3.3.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{5} = C_{4} \int - 4 e^{u} d u$

解题步骤 8.3.4

由于 $- 4$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 \int e^{u} d u)$

解题步骤 8.3.5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 (e^{u} + C_{6}))$

解题步骤 8.3.6

化简。

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{u}) + C_{7}$

解题步骤 8.3.7

使用 $- \frac{x}{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{x}{4}}) + C_{7}$

解题步骤 8.3.8

重新排序项。

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{1}{4} x}) + C_{7}$

解题步骤 8.3.9

重新排序项。

$y + C_{5} = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C_{4} + C_{7}$

解题步骤 8.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C + D$

微积分学 示例

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