微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 8$ , $y (- 1) = 0$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (8 x + 8) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 8 x + 8 d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 8 x + 8 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 8 x d x + \int 8 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 8 \int x d x + \int 8 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 8 d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 8 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 8 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$y + C_{1} = 4 x^{2} + 8 x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 4 x^{2} + 8 x + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $- 1$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = 4 x^{2} + 8 x + K$ 中求 $K$ 的值。

$0 = 4 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将方程重写为 $4 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + K = 0$ 。

$4 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + K = 0$

解题步骤 4.2

化简 $4 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + K$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 \cdot 1 + 8 \cdot - 1 + K = 0$

解题步骤 4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + 8 \cdot - 1 + K = 0$

解题步骤 4.2.1.3

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$4 - 8 + K = 0$

解题步骤 4.2.2

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$- 4 + K = 0$

解题步骤 4.3

在等式两边都加上 $4$ 。

$K = 4$

解题步骤 5

代入 $4$ 替换 $y = 4 x^{2} + 8 x + K$ 中的 $K$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

代入 $4$ 替换 $K$ 。

$y = 4 x^{2} + 8 x + 4$

微积分学 示例

微积分学示例