微积分学示例

$x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 1.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x^{2} y + 4 y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 4 y]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x^{2} y + 4 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y]$

解题步骤 2.4

因为 $4 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $2 y x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x$

解题步骤 2.5.2

重新排序 $2 y x$ 的因式。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $2 x y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$0 = 2 x y$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$0 = 2 x y$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $2 x y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{0 - (2 x y)}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $x^{2} y + 4 y$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $x^{2} y + 4 y$ 替换 $N$ 。

$\frac{0 - (2 x y)}{x^{2} y + 4 y}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0 - 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

解题步骤 4.3.2.2

从 $0$ 中减去 $2 x y$ 。

$\frac{- 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

解题步骤 4.3.3

从 $x^{2} y + 4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + 4 y}$

解题步骤 4.3.3.2

从 $4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + y \cdot 4}$

解题步骤 4.3.3.3

从 $y x^{2} + y \cdot 4$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

解题步骤 4.3.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 4}$

解题步骤 4.3.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x}{x^{2} + 4}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

解题步骤 5.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x}$

解题步骤 5.4

使 $u = x^{2} + 4$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.4.1

设 $u = x^{2} + 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

对 $x^{2} + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 5.4.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 5.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 5.4.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 5.4.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 5.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

解题步骤 5.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

解题步骤 5.7

化简。

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解题步骤 5.7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 2$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.7.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2.2.2

约去公因数。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2.2.3

重写表达式。

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

解题步骤 5.9

化简。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

解题步骤 5.10

使用 $x^{2} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 4 |)} + C$

解题步骤 5.11

化简每一项。

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解题步骤 5.11.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln (| x^{2} + 4 |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{- 1})} + C$

解题步骤 5.11.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x^{2} + 4 |}^{- 1} + C$

解题步骤 5.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 4 |} + C$

解题步骤 6

在 $x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{2} + 4}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 4}$ 。

$x \frac{1}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

解题步骤 6.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x^{2} + 4}$ 。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $x^{2} y + 4 y$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 4}$ 。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) \frac{1}{x^{2} + 4} d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $x^{2} y + 4 y$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 4}$ 。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{x^{2} y + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

解题步骤 6.5

从 $x^{2} y + 4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 6.5.1

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

解题步骤 6.5.2

从 $4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + y \cdot 4}{x^{2} + 4} d y = 0$

解题步骤 6.5.3

从 $y x^{2} + y \cdot 4$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

解题步骤 6.6

约去 $x^{2} + 4$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.1

约去公因数。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

解题步骤 6.6.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + y d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int y d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = y$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

解题步骤 11.3

因为 $\frac{1}{2} y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

解题步骤 11.5

将 $0$ 和 $\frac{d g}{d x}$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

解题步骤 12

求 $\frac{x}{x^{2} + 4}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 12.1

对 $\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 12.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 12.3

使 $u = x^{2} + 4$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 12.3.1

设 $u = x^{2} + 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 12.3.1.1

对 $x^{2} + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 12.3.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 12.3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 12.3.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 12.3.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 12.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 12.4

化简。

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解题步骤 12.4.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$g (x) = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 12.4.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$g (x) = \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

解题步骤 12.4.3

将 $2$ 乘以 $u$ 。

$g (x) = \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 12.5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$g (x) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 12.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$g (x) = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 12.7

化简。

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

解题步骤 12.8

使用 $x^{2} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

解题步骤 13

在 $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

解题步骤 14

化简 $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$ 。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

解题步骤 14.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |)$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 14.2

要将 $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 14.3

组合 $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 14.4

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 14.5

化简分子。

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解题步骤 14.5.1

乘以 $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ 。

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解题步骤 14.5.1.1

将 $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ 和 $2$ 重新排序。

$f (x, y) = \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

解题步骤 14.5.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

解题步骤 14.5.2

将 ${({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 14.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

解题步骤 14.5.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.5.2.2.1

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

解题步骤 14.5.2.2.2

重写表达式。

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{1})}{2} + C$

解题步骤 14.5.3

化简。

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$

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