微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x \cos (8 x^{2})$ , $y (0) = 8$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = x \cos (8 x^{2}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = 8 x^{2}$ 。然后使 $d u = 16 x d x$ ，以便 $\frac{1}{16} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = 8 x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $8 x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

解题步骤 2.3.1.1.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 (2 x)$

解题步骤 2.3.1.1.4

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 x$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{16} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{16} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{16}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{16}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

解题步骤 2.3.4

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{16} (\sin (u) + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (u) + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $8 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $8$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ 中求 $K$ 的值。

$8 = \frac{1}{16} \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$ 。

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0) + K = 8$

解题步骤 4.2.1.1.2

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{16} \cdot \sin (0) + K = 8$

解题步骤 4.2.1.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{16} \cdot 0 + K = 8$

解题步骤 4.2.1.1.4

将 $\frac{1}{16}$ 乘以 $0$ 。

$0 + K = 8$

解题步骤 4.2.1.2

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K = 8$

解题步骤 5

代入 $8$ 替换 $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $8$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + 8$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{16}$ 和 $\sin (8 x^{2})$ 。

$y = \frac{\sin (8 x^{2})}{16} + 8$

微积分学 示例

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