微积分学示例

$(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = y^{4} + 2 y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4} + 2 y]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $y^{4} + 2 y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + \frac{d}{d y} [2 y]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 2.3.3

将 $y^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 2.4

因为 $2 y^{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y^{4}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 2.5.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.5.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4$

解题步骤 2.6

将 $y^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} - 4$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $4 y^{3} + 2$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $y^{3} - 4$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $y^{3} - 4$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{y^{3} - 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $4 y^{3} + 2$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $y^{4} + 2 y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $y^{4} + 2 y$ 替换 $M$ 。

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{y^{4} + 2 y}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3}) - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 2}{y^{4} + 2 y}$

解题步骤 4.3.2.4

从 $y^{3}$ 中减去 $4 y^{3}$ 。

$\frac{- 3 y^{3} - 4 - 2}{y^{4} + 2 y}$

解题步骤 4.3.2.5

从 $- 4$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 3 y^{3} - 6}{y^{4} + 2 y}$

解题步骤 4.3.2.6

从 $- 3 y^{3} - 6$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 4.3.2.6.1

从 $- 3 y^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- y^{3}) - 6}{y^{4} + 2 y}$

解题步骤 4.3.2.6.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (- 2)}{y^{4} + 2 y}$

解题步骤 4.3.2.6.3

从 $3 (- y^{3}) + 3 (- 2)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y^{4} + 2 y}$

解题步骤 4.3.3

从 $y^{4} + 2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $y^{4}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + 2 y}$

解题步骤 4.3.3.2

从 $2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}$

解题步骤 4.3.3.3

从 $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

解题步骤 4.3.4

约去 $- y^{3} - 2$ 和 $y^{3} + 2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $- y^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (y^{3}) - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

解题步骤 4.3.4.2

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (2))}{y (y^{3} + 2)}$

解题步骤 4.3.4.3

从 $- (y^{3}) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

解题步骤 4.3.4.4

将 $- (y^{3} + 2)$ 重写为 $- 1 (y^{3} + 2)$ 。

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

解题步骤 4.3.4.5

约去公因数。

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

解题步骤 4.3.4.6

重写表达式。

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

解题步骤 4.3.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3}{y}$

解题步骤 4.3.6

代入 $y^{4} + 2 y$ 替换 $M$ 。

$- \frac{3}{y}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

解题步骤 5.2

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

解题步骤 5.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 5.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 5.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

解题步骤 5.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

解题步骤 5.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

解题步骤 6

在 $(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $y^{4} + 2 y$ 乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$(y^{4} + 2 y) \frac{1}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $y^{4} + 2 y$ 乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$\frac{y^{4} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

解题步骤 6.3

从 $y^{4} + 2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 6.3.1

从 $y^{4}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot y^{3} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

解题步骤 6.3.2

从 $2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

解题步骤 6.3.3

从 $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

解题步骤 6.4

约去公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

解题步骤 6.4.3

重写表达式。

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ 乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 6.6

将 $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ 乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} x + C$

解题步骤 8.2

化简答案。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ 和 $x$ 。

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$

解题步骤 8.2.2

将 $\frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$ 重写为 $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = y^{3} x + 2 x$ 且 $g (y) = y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} \frac{d}{d y} [y^{3} x + 2 x] - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.2

根据加法法则， $y^{3} x + 2 x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]$ 。

$\frac{y^{2} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.3

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y^{3} x$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$\frac{y^{2} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.5

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.7

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{y^{2} (3 \cdot x y^{2} + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.8

将 $3 x y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y^{2} (3 x y^{2}) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.9

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 11.3.9.1

移动 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} y^{2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y^{2 + 2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.9.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{y^{4} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.10

将 $3$ 移到 $y^{4}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot y^{4} x - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.11

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.12

将 ${(y^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.12.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.12.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.13

从 $3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 11.3.13.1

从 $3 y^{4} x$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (3 y^{3} x) - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.13.2

从 $- 2 (y^{3} x + 2 x) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.13.3

从 $y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.14

约去公因数。

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解题步骤 11.3.14.1

从 $y^{4}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.14.2

约去公因数。

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.14.3

重写表达式。

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

运用分配律。

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x) - 2 (2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.5.2

合并项。

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解题步骤 11.5.2.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{3 y^{3} x - 2 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.5.2.2

从 $3 y^{3} x$ 中减去 $2 y^{3} x$ 。

$\frac{1 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.5.2.3

将 $y^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.5.2.4

要将 $\frac{d g}{d y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ 。

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.5.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{y^{3} x - 4 x + \frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 11.5.3

重新排序项。

$\frac{y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1.1

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$

解题步骤 12.1.2

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.2.1

从等式两边同时减去 $y^{3} x$ 。

$y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x$

解题步骤 12.1.2.2

在等式两边都加上 $4 x$ 。

$y^{3} \frac{d g}{d y} = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

解题步骤 12.1.2.3

合并 $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.2.3.1

按照 $x y^{3}$ 和 $- y^{3} x$ 重新排列因数。

$y^{3} \frac{d g}{d y} = y^{3} x + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

解题步骤 12.1.2.3.2

从 $y^{3} x$ 中减去 $y^{3} x$ 。

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 0 + 4 x$

解题步骤 12.1.2.3.3

将 $2 y^{4} - 4 x$ 和 $0$ 相加。

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 4 x$

解题步骤 12.1.2.3.4

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} + 0$

解题步骤 12.1.2.3.5

将 $2 y^{4}$ 和 $0$ 相加。

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$

解题步骤 12.1.3

将 $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ 中的每一项除以 $y^{3}$ 并化简。

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解题步骤 12.1.3.1

将 $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ 中的每一项都除以 $y^{3}$ 。

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

解题步骤 12.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 12.1.3.2.1

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

解题步骤 12.1.3.2.1.2

用 $\frac{d g}{d y}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

解题步骤 12.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 12.1.3.3.1

约去 $y^{4}$ 和 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.3.3.1.1

从 $2 y^{4}$ 中分解出因数 $y^{3}$ 。

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3}}$

解题步骤 12.1.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 12.1.3.3.1.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

解题步骤 12.1.3.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

解题步骤 12.1.3.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y}{1}$

解题步骤 12.1.3.3.1.2.4

用 $2 y$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

解题步骤 13

求 $2 y$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = 2 y$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int 2 y d y$

解题步骤 13.3

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$g (y) = 2 \int y d y$

解题步骤 13.4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 13.5

化简答案。

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解题步骤 13.5.1

将 $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ 。

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

解题步骤 13.5.2

化简。

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解题步骤 13.5.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

解题步骤 13.5.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.2.2.1

约去公因数。

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

解题步骤 13.5.2.2.2

重写表达式。

$g (y) = 1 y^{2} + C$

解题步骤 13.5.2.3

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$g (y) = y^{2} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

解题步骤 15

化简 $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$ 。

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解题步骤 15.1

从 $y^{3} x + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 15.1.1

从 $y^{3} x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

解题步骤 15.1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2}{y^{2}} + y^{2} + C$

解题步骤 15.1.3

从 $x y^{3} + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + y^{2} + C$

解题步骤 15.2

要将 $y^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 。

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

解题步骤 15.3

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2) + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

解题步骤 15.4

化简分子。

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解题步骤 15.4.1

运用分配律。

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2 + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

解题步骤 15.4.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 \cdot x + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

解题步骤 15.4.3

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 15.4.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{2 + 2}}{y^{2}} + C$

解题步骤 15.4.3.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{4}}{y^{2}} + C$

微积分学 示例

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