微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + 3 x$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = 3 x$

解题步骤 1.2

从 $\frac{y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = 3 x$

解题步骤 1.3

将 $y$ 和 $\frac{1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = 3 x$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (x)}$

解题步骤 2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$x$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $x$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $x$ 。

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (3 x)$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $y$ 。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x)$

解题步骤 3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

约去公因数。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x)$

解题步骤 3.2.2.2

重写表达式。

$x \frac{d y}{d x} + y = x (3 x)$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x \cdot x$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $x$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 (x \cdot x)$

解题步骤 3.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$x y = \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$x y = 3 \int x^{2} d x$

解题步骤 7.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 7.3

化简答案。

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解题步骤 7.3.1

将 $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ 重写为 $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ 。

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

解题步骤 7.3.2

化简。

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解题步骤 7.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

解题步骤 7.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.2.1

约去公因数。

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

解题步骤 7.3.2.2.2

重写表达式。

$x y = 1 x^{3} + C$

解题步骤 7.3.2.3

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x y = x^{3} + C$

解题步骤 8

将 $x y = x^{3} + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $x y = x^{3} + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.3.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.3.1.2.3

约去公因数。

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.3.1.2.4

重写表达式。

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.3.1.2.5

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$y = x^{2} + \frac{C}{x}$

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