微积分学示例

当 $f (2 π) = 1$ 时， $\frac{d y}{d x} = y \sin (x)$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

解题步骤 1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $y \sin (x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sin (x)))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = \sin (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin (x) d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

解题步骤 2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - \cos (x) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \cos (x) + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = - \cos (x) + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \cos (x) + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{- \cos (x) + C}$ 。

$| y | = e^{- \cos (x) + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{- \cos (x) + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{- \cos (x) + C}$ 重写为 $e^{- \cos (x)} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{- \cos (x)} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{- \cos (x)}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{- \cos (x)}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{- \cos (x)}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $2 π$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y = C e^{- \cos (x)}$ 中求 $C$ 的值。

$1 = C e^{- \cos (2 π)}$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $C e^{- \cos (2 π)} = 1$ 。

$C e^{- \cos (2 π)} = 1$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$C e^{- \cos (0)} = 1$

解题步骤 6.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$C e^{- 1 \cdot 1} = 1$

解题步骤 6.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$C e^{- 1} = 1$

解题步骤 6.3

将 $C e^{- 1} = 1$ 中的每一项除以 $e^{- 1}$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $C e^{- 1} = 1$ 中的每一项都除以 $e^{- 1}$ 。

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $e^{- 1}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

解题步骤 6.3.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{1}{e^{- 1}}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 将 $e^{- 1}$ 移动到分子。

$C = e$

解题步骤 7

代入 $e$ 替换 $y = C e^{- \cos (x)}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $e$ 替换 $C$ 。

$y = e e^{- \cos (x)}$

解题步骤 7.2

将 $e$ 乘以 $e^{- \cos (x)}$ 。

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解题步骤 7.2.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = e^{1} e^{- \cos (x)}$

解题步骤 7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = e^{1 - \cos (x)}$

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