微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2$

解题步骤 1

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = V + 2$

解题步骤 2

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 3

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 4

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2$

解题步骤 5

求解代入的微分方程。

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解题步骤 5.1

分离变量。

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解题步骤 5.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 - V$

解题步骤 5.1.1.1.2

合并 $V + 2 - V$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.1.1.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2$

解题步骤 5.1.1.1.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = 2$

解题步骤 5.1.1.2

将 $x \frac{d V}{d x} = 2$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1.2.1

将 $x \frac{d V}{d x} = 2$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

解题步骤 5.1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

解题步骤 5.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

解题步骤 5.1.2

重写该方程。

$d V = \frac{2}{x} d x$

解题步骤 5.2

对两边积分。

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解题步骤 5.2.1

在两边建立积分。

$\int d V = \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 5.2.2

应用常数不变法则。

$V + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 5.2.3

对右边积分。

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解题步骤 5.2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$V + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.2.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$V + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 5.2.3.3

化简。

$V + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 5.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$V = 2 \ln (| x |) + C$

解题步骤 6

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$

解题步骤 7

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$ 。

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解题步骤 7.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$y = (2 \ln (| x |) + C) x$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简 $(2 \ln (| x |) + C) x$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| x |)$ 。

$y = (\ln ({| x |}^{2}) + C) x$

解题步骤 7.2.2.1.1.2

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$y = (\ln (x^{2}) + C) x$

解题步骤 7.2.2.1.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1.2.1

运用分配律。

$y = \ln (x^{2}) x + C x$

解题步骤 7.2.2.1.2.2

化简表达式。

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解题步骤 7.2.2.1.2.2.1

将 $\ln (x^{2}) x + C x$ 中的因式重新排序。

$y = x \ln (x^{2}) + C x$

解题步骤 7.2.2.1.2.2.2

将 $x \ln (x^{2})$ 和 $C x$ 重新排序。

$y = C x + x \ln (x^{2})$

微积分学 示例

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