微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$

解题步骤 1

假设所有解都为 $y = e^{r x}$ 形式。

解题步骤 2

求 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$ 的特征方程。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

解题步骤 2.3

代入微分方程。

$r^{2} e^{r x} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

解题步骤 2.4

因式分解出 $e^{r x}$ 。

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解题步骤 2.4.1

从 $r^{2} e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} r^{2} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

解题步骤 2.4.2

从 $- 4 e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4 = 4 e^{- x}$

解题步骤 2.4.3

从 $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} (r^{2} - 4) = 4 e^{- x}$

解题步骤 2.5

由于指数永远不可能为零，在两边同时除以 $e^{r x}$ 。

$r^{2} - 4 = 4 e^{- x}$

解题步骤 3

求解 $r$ 。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$r^{2} = 4 e^{- x} + 4$

解题步骤 3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$r = \pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$

解题步骤 3.3

化简 $\pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$ 。

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解题步骤 3.3.1

从 $4 e^{- x} + 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $4 e^{- x}$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4}$

解题步骤 3.3.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4 (1)}$

解题步骤 3.3.1.3

从 $4 (e^{- x}) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x} + 1)}$

解题步骤 3.3.2

将 $4 (e^{- x} + 1)$ 重写为 $2^{2} (e^{- x} + 1^{2})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1)}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1^{2})}$

解题步骤 3.3.3

从根式下提出各项。

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1^{2}}$

解题步骤 3.3.4

一的任意次幂都为一。

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

解题步骤 4

使用求到的两个 $r$ 值，可以构建两个解。

$y_{1} = e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

$y_{2} = e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

解题步骤 5

根据叠加原理，二阶齐次线性微分方程的通解是其两个解的线性组合。

$y = c_{1} e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x} + c_{2} e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

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