微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + \frac{4}{x}$ , $y (0) = 1$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (5 x^{2} + \frac{4}{x}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

化简。

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2

组合 $5$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$ 中求 $C$ 的值。

$1 = \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C$

解题步骤 4

求解 $C$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$ 。

$\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{5}{3} \cdot 0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

解题步骤 4.2.1.2

将 $\frac{5}{3}$ 乘以 $0$ 。

$0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

解题步骤 4.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$0 + 4 \ln (0) + C = 1$

解题步骤 4.2.2

因为方程无定义，所以方程无解。

$无定义$

微积分学 示例

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