微积分学示例

$x y d y = (x^{2} + y^{2}) d x$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $(x^{2} + y^{2}) d x$ 。

$x y d y - (x^{2} + y^{2}) d x = 0$

解题步骤 1.2

重写。

$- (x^{2} + y^{2}) d x + x y d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = - (x^{2} + y^{2})$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} + y^{2})]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- (x^{2} + y^{2})$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 2.4

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x y$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

解题步骤 3.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $- 2 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 2 y = y$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- 2 y = y$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $- 2 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 5.2

代入 $y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- 2 y - y}{N}$

解题步骤 5.3

代入 $x y$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $x y$ 替换 $N$ 。

$\frac{- 2 y - y}{x y}$

解题步骤 5.3.2

从 $- 2 y$ 中减去 $y$ 。

$\frac{- 3 y}{x y}$

解题步骤 5.3.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

约去公因数。

$\frac{- 3 y}{x y}$

解题步骤 5.3.3.2

重写表达式。

$\frac{- 3}{x}$

解题步骤 5.3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{x}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 6.2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 6.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 6.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 6.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

解题步骤 6.6

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

解题步骤 6.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

解题步骤 6.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

解题步骤 7

在 $- (x^{2} + y^{2}) d x + x y d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- (x^{2} + y^{2})$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$- (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$(- x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

解题步骤 7.3

将 $- x^{2} - y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{- x^{2} - y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

解题步骤 7.4

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) - y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

解题步骤 7.5

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) - (y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

解题步骤 7.6

从 $- (x^{2}) - (y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} + y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

解题步骤 7.7

将 $- (x^{2} + y^{2})$ 重写为 $- 1 (x^{2} + y^{2})$ 。

$\frac{- 1 (x^{2} + y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

解题步骤 7.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

解题步骤 7.9

将 $x y$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.10

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.10.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.10.2

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

解题步骤 7.10.3

约去公因数。

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

解题步骤 7.10.4

重写表达式。

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 7.11

组合 $y$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{y}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d y$

解题步骤 9

对 $N (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

由于 $\frac{1}{x^{2}}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{x^{2}}$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int y d y$

解题步骤 9.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 9.3

化简答案。

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解题步骤 9.3.1

将 $\frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 重写为 $\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 9.3.2

化简。

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解题步骤 9.3.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

解题步骤 9.3.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

解题步骤 9.3.2.3

将 $2$ 乘以 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2 x^{2}} y^{2} + C$

解题步骤 9.3.2.4

组合 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 10

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}]$ 。

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解题步骤 12.3.1

因为 $\frac{y^{2}}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 12.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 12.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.10

组合 $- 2$ 和 $\frac{y^{2}}{2}$ 。

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.11

组合 $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ 和 $x^{- 3}$ 。

$\frac{- 2 y^{2} x^{- 3}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$\frac{- 2 y^{2}}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.13

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.13.1

从 $- 2 y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 12.3.13.2.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- y^{2})}{2 (x^{3})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.13.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.13.2.3

重写表达式。

$\frac{- y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.3.14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 13.1.1.1

在等式两边都加上 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$ 。

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} = 0$

解题步骤 13.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + x^{2} + y^{2}}{x^{3}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3

合并 $- y^{2} + x^{2} + y^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.1.3.1

将 $- y^{2}$ 和 $y^{2}$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} + 0}{x^{3}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2}}{x^{3}} = 0$

解题步骤 13.1.1.4

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1.4.1

乘以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} = 0$

解题步骤 13.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.1.4.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} = 0$

解题步骤 13.1.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} = 0$

解题步骤 13.1.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

解题步骤 13.1.2

从等式两边同时减去 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

解题步骤 14

求 $- \frac{1}{x}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 14.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 14.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 14.5

化简。

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} - \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

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