微积分学示例

$(x y + y^{2}) d y = y^{2} d x$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $y^{2} d x$ 。

$(x y + y^{2}) d y - y^{2} d x = 0$

解题步骤 1.2

重写。

$- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = - y^{2}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x y + y^{2}$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x y + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.3.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $- 2 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 2 y = y$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- 2 y = y$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 5.2

代入 $- 2 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{y - (- 2 y)}{M}$

解题步骤 5.3

代入 $- y^{2}$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $- y^{2}$ 替换 $M$ 。

$\frac{y - (- 2 y)}{- y^{2}}$

解题步骤 5.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $y - (- 2 y)$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y^{1} - (- 2 y)}{- y^{2}}$

解题步骤 5.3.2.1.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot 1 - (- 2 y)}{- y^{2}}$

解题步骤 5.3.2.1.3

从 $- (- 2 y)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot 1 + y (- (- 2))}{- y^{2}}$

解题步骤 5.3.2.1.4

从 $y \cdot 1 + y (- (- 2))$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (1 - (- 2))}{- y^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{y (1 + 2)}{- y^{2}}$

解题步骤 5.3.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{y \cdot 3}{- y^{2}}$

解题步骤 5.3.3

约去 $y$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $y \cdot 3$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (3)}{- y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (3)}{y (- y)}$

解题步骤 5.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{y \cdot 3}{y (- y)}$

解题步骤 5.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{- y}$

解题步骤 5.3.4

代入 $- y^{2}$ 替换 $M$ 。

$- \frac{3}{y}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

解题步骤 6.2

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

解题步骤 6.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 6.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 6.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

解题步骤 6.6

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

解题步骤 6.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

解题步骤 6.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

解题步骤 7

在 $- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$- y^{2} \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.2.2

从 $y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.2.3

约去公因数。

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.2.4

重写表达式。

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.3

将 $x y + y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.4

将 $x y + y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x y + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.5

从 $x y + y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 7.5.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.5.2

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y \cdot y}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.5.3

从 $y x + y \cdot y$ 中分解出因数 $y$ 。

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.6

约去公因数。

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解题步骤 7.6.1

从 $y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

解题步骤 7.6.2

约去公因数。

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

解题步骤 7.6.3

重写表达式。

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x + y}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - \frac{1}{y} d x$

解题步骤 9

对 $M (x, y) = - \frac{1}{y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = - \frac{1}{y} x + C$

解题步骤 9.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

解题步骤 10

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $- \frac{x}{y} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}]$ 。

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解题步骤 12.3.1

因为 $- x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- \frac{x}{y}$ 对 $y$ 的导数是 $- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 。

$- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

解题步骤 12.3.2

将 $\frac{1}{y}$ 重写为 $y^{- 1}$ 。

$- x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

解题步骤 12.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

解题步骤 12.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

解题步骤 12.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x y^{- 2} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

解题步骤 12.5

化简。

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解题步骤 12.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

解题步骤 12.5.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

解题步骤 12.5.3

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} = \frac{x + y}{y^{2}}$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 13.1

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 13.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 13.1.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{x + y}{y^{2}}$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x + y}{y^{2}} = 0$

解题步骤 13.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + y)}{y^{2}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3

运用分配律。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - y}{y^{2}} = 0$

解题步骤 13.1.1.4

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y}{y^{2}} = 0$

解题步骤 13.1.1.5

从 $0$ 中减去 $y$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y}{y^{2}} = 0$

解题步骤 13.1.1.6

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1.6.1

约去 $y$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1.6.1.1

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

解题步骤 13.1.1.6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.1.6.1.2.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

解题步骤 13.1.1.6.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

解题步骤 13.1.1.6.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

解题步骤 13.1.1.6.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

解题步骤 13.1.2

在等式两边都加上 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

解题步骤 14

求 $\frac{1}{y}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 14.3

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$g (y) = \ln (| y |) + C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + \ln (| y |) + C$

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