微积分学示例

$2 \frac{d y}{d x} - 4 x y = 5 x$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边都加上 $4 x y$ 。

$2 \frac{d y}{d x} = 5 x + 4 x y$

解题步骤 1.1.2

将 $2 \frac{d y}{d x} = 5 x + 4 x y$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $2 \frac{d y}{d x} = 5 x + 4 x y$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{5 x}{2} + \frac{4 x y}{2}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{5 x}{2} + \frac{4 x y}{2}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{4 x y}{2}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

从 $4 x y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 (2 x y)}{2}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 (2 x y)}{2 (1)}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 (2 x y)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 x y}{1}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.4

用 $2 x y$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + 2 x y$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $\frac{5 x}{2} + 2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $\frac{5 x}{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5}{2} + 2 x y$

解题步骤 1.2.1.2

从 $2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5}{2} + x (2 y)$

解题步骤 1.2.1.3

从 $x \frac{5}{2} + x (2 y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{5}{2} + 2 y)$

解题步骤 1.2.2

要将 $2 y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{5}{2} + 2 y \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 1.2.3

组合 $2 y$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{5}{2} + \frac{2 y \cdot 2}{2})$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5 + 2 y \cdot 2}{2}$

解题步骤 1.2.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5 + 4 y}{2}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{2}{5 + 4 y}$ 。

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 + 4 y} (x \frac{5 + 4 y}{2})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

组合 $x$ 和 $\frac{5 + 4 y}{2}$ 。

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 + 4 y} \cdot \frac{x (5 + 4 y)}{2}$

解题步骤 1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 + 4 y} \cdot \frac{x (5 + 4 y)}{2}$

解题步骤 1.4.2.2

重写表达式。

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 4 y} (x (5 + 4 y))$

解题步骤 1.4.3

约去 $5 + 4 y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1

从 $x (5 + 4 y)$ 中分解出因数 $5 + 4 y$ 。

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 4 y} ((5 + 4 y) x)$

解题步骤 1.4.3.2

约去公因数。

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 4 y} ((5 + 4 y) x)$

解题步骤 1.4.3.3

重写表达式。

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{2}{5 + 4 y} d y = x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{2}{5 + 4 y} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{1}{5 + 4 y} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.2

使 $u = 5 + 4 y$ 。然后使 $d u = 4 d y$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = 5 + 4 y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $5 + 4 y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [5 + 4 y]$

解题步骤 2.2.2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.2.2.1.2.1

根据加法法则， $5 + 4 y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [4 y]$ 。

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [4 y]$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

因为 $5$ 对于 $y$ 是常数，所以 $5$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [4 y]$

解题步骤 2.2.2.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [4 y]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4 y$ 对 $y$ 的导数是 $4 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$0 + 4 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 4 \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$0 + 4$

解题步骤 2.2.2.1.4

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$4$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$2 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.3.2

将 $4$ 移到 $u$ 的左侧。

$2 \int \frac{1}{4 u} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u) = \int x d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

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解题步骤 2.2.5.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.5.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.5.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

解题步骤 2.2.7

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.2.8

使用 $5 + 4 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |) + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |))$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| 5 + 4 y |)$ 。

$2 \frac{\ln (| 5 + 4 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{\ln (| 5 + 4 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

约去公因数。

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

重写表达式。

$\ln (| 5 + 4 y |) = x^{2} + 2 C$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 5 + 4 y |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (| 5 + 4 y |) = x^{2} + 2 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x^{2} + 2 C} = | 5 + 4 y |$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $| 5 + 4 y | = e^{x^{2} + 2 C}$ 。

$| 5 + 4 y | = e^{x^{2} + 2 C}$

解题步骤 3.5.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$5 + 4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

解题步骤 3.5.3

从等式两边同时减去 $5$ 。

$4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 5$

解题步骤 3.5.4

将 $4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 5$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 5$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} + \frac{- 5}{4}$

解题步骤 3.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.4.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} + \frac{- 5}{4}$

解题步骤 3.5.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} + \frac{- 5}{4}$

解题步骤 3.5.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} - \frac{5}{4}$

解题步骤 3.5.4.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 5}{4}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + C} - 5}{4}$

解题步骤 4.2

将 $e^{x^{2} + C}$ 重写为 $e^{x^{2}} e^{C}$ 。

$y = \frac{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 5}{4}$

解题步骤 4.3

将 $e^{x^{2}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 5}{4}$

解题步骤 4.4

用加号或减号合并常数。

$y = \frac{C e^{x^{2}} - 5}{4}$

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