微积分学示例

$\frac{d x}{d t} = 1 + t - x - t x$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

因数。

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解题步骤 1.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{d x}{d t} = (1 + t) - x - t x$

解题步骤 1.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{d x}{d t} = 1 (1 + t) - x (1 + t)$

解题步骤 1.1.2

通过因式分解出最大公因数 $1 + t$ 来因式分解多项式。

$\frac{d x}{d t} = (1 + t) (1 - x)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{1 - x}$ 。

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 + t) (1 - x))$

解题步骤 1.3

约去 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $(1 + t) (1 - x)$ 中分解出因数 $1 - x$ 。

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 - x) (1 + t))$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 - x) (1 + t))$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = 1 + t$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{1 - x} d x = (1 + t) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{1 - x} d x = \int 1 + t d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 1 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 1 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.2.1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 1 + t d t$

解题步骤 2.2.2

将分数分解成多个分数。

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 1 + t d t$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 1 + t d t$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 1 + t d t$

解题步骤 2.2.5

化简。

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 1 + t d t$

解题步骤 2.2.6

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \int 1 + t d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \int d t + \int t d t$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + C_{2} + \int t d t$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + C_{2} + \frac{1}{2} t^{2} + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5

重新排序项。

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (| 1 - x |)}{1} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $\ln (| 1 - x |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 1 - x |) = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

移动 $\frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| 1 - x |) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} t^{2}) + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将 $- 1 \cdot (\frac{1}{2} t^{2})$ 重写为 $- (\frac{1}{2} t^{2})$ 。

$\ln (| 1 - x |) = - (\frac{1}{2} t^{2}) + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.4

移动 $\frac{t}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - 1 \cdot t + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.5

将 $- 1 \cdot t$ 重写为 $- t$ 。

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.6

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - 1 \cdot C$

解题步骤 3.1.3.1.7

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - C$

解题步骤 3.2

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 1 - x |)} = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} = | 1 - x |$

解题步骤 3.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $| 1 - x | = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$ 。

$| 1 - x | = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

解题步骤 3.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$1 - x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

解题步骤 3.4.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$

解题步骤 3.4.4

将 $- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

要将 $\frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3.2

要将 $\frac{- 1}{- 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $1$ 的形式。

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解题步骤 3.4.4.3.3.1

将 $\frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1}$ 乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3.3.3

将 $\frac{- 1}{- 1}$ 乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{- - 1}$

解题步骤 3.4.4.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{1}$

解题步骤 3.4.4.3.4

在公分母上合并分子。

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1 - - 1}{1}$

解题步骤 3.4.4.3.5

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.3.5.1

将 $- 1$ 移到 $\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$ 的左侧。

$x = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) - - 1}{1}$

解题步骤 3.4.4.3.5.2

将 $- 1 (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C})$ 重写为 $- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C})$ 。

$x = \frac{- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) - - 1}{1}$

解题步骤 3.4.4.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1}{1}$

解题步骤 3.4.4.3.6

用 $- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1$ 除以 $1$ 。

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t + C}) + 1$

解题步骤 4.2

将 $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t + C}$ 重写为 $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t} e^{C}$ 。

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t} e^{C}) + 1$

解题步骤 4.3

将 $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$x = - (\pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}) + 1$

解题步骤 4.4

用加号或减号合并常数。

$x = - (C e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}) + 1$

微积分学 示例

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