微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

从 $- \frac{y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

将 $y$ 和 $- \frac{1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $- \frac{1}{x}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 2.2.3

化简。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- \ln (x)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 1}$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.4

乘以 $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\frac{y}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.4.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

合并。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1 \cdot 1}{x \cdot x^{2}}$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1 \cdot 1}{x^{1} x^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1 \cdot 1}{x^{1 + 2}}$

解题步骤 3.4.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1 \cdot 1}{x^{3}}$

解题步骤 3.5

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.1.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{x} y = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 7.1.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{x} y = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 7.1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x} y = \int x^{- 3} d x$

解题步骤 7.2

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

解题步骤 7.3

化简答案。

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解题步骤 7.3.1

将 $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ 重写为 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ 。

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

解题步骤 7.3.2

化简。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

解题步骤 7.3.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 8.1.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$\frac{1}{x} y + \frac{1}{2 x^{2}} = C$

解题步骤 8.1.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$\frac{1}{x} y + \frac{1}{2 x^{2}} - C = 0$

解题步骤 8.1.3

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} - C = 0$

解题步骤 8.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 8.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$\frac{y}{x} - C = - \frac{1}{2 x^{2}}$

解题步骤 8.2.2

在等式两边都加上 $C$ 。

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 8.3

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) x$

解题步骤 8.4

化简。

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解题步骤 8.4.1

化简左边。

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解题步骤 8.4.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) x$

解题步骤 8.4.1.1.2

重写表达式。

$y = (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) x$

解题步骤 8.4.2

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.1

化简 $(- \frac{1}{2 x^{2}} + C) x$ 。

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解题步骤 8.4.2.1.1

运用分配律。

$y = - \frac{1}{2 x^{2}} x + C x$

解题步骤 8.4.2.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.1.2.1

将 $- \frac{1}{2 x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$y = \frac{- 1}{2 x^{2}} x + C x$

解题步骤 8.4.2.1.2.2

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{- 1}{x (2 x)} x + C x$

解题步骤 8.4.2.1.2.3

约去公因数。

$y = \frac{- 1}{x (2 x)} x + C x$

解题步骤 8.4.2.1.2.4

重写表达式。

$y = \frac{- 1}{2 x} + C x$

解题步骤 8.4.2.1.3

化简表达式。

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解题步骤 8.4.2.1.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{2 x} + C x$

解题步骤 8.4.2.1.3.2

将 $- \frac{1}{2 x}$ 和 $C x$ 重新排序。

$y = C x - \frac{1}{2 x}$

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