微积分学示例

$\frac{d p}{d t} = 0.2 p - 10$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{0.2 p - 10}$ 。

$\frac{1}{0.2 p - 10} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{0.2 p - 10} (0.2 p - 10)$

解题步骤 1.2

约去 $0.2 p - 10$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{0.2 p - 10} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{0.2 p - 10} (0.2 p - 10)$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{0.2 p - 10} \frac{d p}{d t} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{0.2 p - 10} d p = 1 d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{0.2 p - 10} d p = \int d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 0.2 p - 10$ 。然后使 $d u = 0.2 d p$ ，以便 $\frac{1}{0.2} d u = d p$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 0.2 p - 10$ 。求 $\frac{d u}{d p}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

重写。

$\frac{0.2}{1}$

解题步骤 2.2.1.1.2

用 $0.2$ 除以 $1$ 。

$0.2$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{5}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.2

由于 $5$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.3

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$5 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

解题步骤 2.2.4

化简。

$5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.5

使用 $0.2 p - 10$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 \ln (| 0.2 p - 10 |) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$5 \ln (| 0.2 p - 10 |) + C_{1} = t + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$5 \ln (| 0.2 p - 10 |) = t + C$

解题步骤 3

求解 $p$ 。

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解题步骤 3.1

将 $5 \ln (| 0.2 p - 10 |) = t + C$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $5 \ln (| 0.2 p - 10 |) = t + C$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 \ln (| 0.2 p - 10 |)}{5} = \frac{t}{5} + \frac{C}{5}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 \ln (| 0.2 p - 10 |)}{5} = \frac{t}{5} + \frac{C}{5}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $\ln (| 0.2 p - 10 |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 0.2 p - 10 |) = \frac{t}{5} + \frac{C}{5}$

解题步骤 3.2

要求解 $p$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 0.2 p - 10 |)} = e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\ln (| 0.2 p - 10 |) = \frac{t}{5} + \frac{C}{5}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}} = | 0.2 p - 10 |$

解题步骤 3.4

求解 $p$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $| 0.2 p - 10 | = e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}$ 。

$| 0.2 p - 10 | = e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}$

解题步骤 3.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$0.2 p - 10 = \pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}$

解题步骤 3.4.3

在等式两边都加上 $10$ 。

$0.2 p = \pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}} + 10$

解题步骤 3.4.4

将 $0.2 p = \pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}} + 10$ 中的每一项除以 $0.2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $0.2 p = \pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}} + 10$ 中的每一项都除以 $0.2$ 。

$\frac{0.2 p}{0.2} = \frac{\pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}}{0.2} + \frac{10}{0.2}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $0.2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.2 p}{0.2} = \frac{\pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}}{0.2} + \frac{10}{0.2}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $p$ 除以 $1$ 。

$p = \frac{\pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}}{0.2} + \frac{10}{0.2}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.3.1.1

在公分母上合并分子。

$p = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{5}}}{0.2} + \frac{10}{0.2}$

解题步骤 3.4.4.3.1.2

乘以 $1$ 。

$p = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{5}})}{0.2} + \frac{10}{0.2}$

解题步骤 3.4.4.3.1.3

从 $0.2$ 中分解出因数 $0.2$ 。

$p = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{5}})}{0.2 (1)} + \frac{10}{0.2}$

解题步骤 3.4.4.3.1.4

分离分数。

$p = \frac{1}{0.2} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{5}}}{1} + \frac{10}{0.2}$

解题步骤 3.4.4.3.1.5

用 $1$ 除以 $0.2$ 。

$p = 5 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{5}}}{1} + \frac{10}{0.2}$

解题步骤 3.4.4.3.1.6

用 $\pm e^{\frac{t + C}{5}}$ 除以 $1$ 。

$p = 5 (\pm e^{\frac{t + C}{5}}) + \frac{10}{0.2}$

解题步骤 3.4.4.3.1.7

用 $10$ 除以 $0.2$ 。

$p = 5 (\pm e^{\frac{t + C}{5}}) + 50$

微积分学 示例

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