微积分学示例

$\frac{d P}{d t} = 2 e^{3 t}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d P = 2 e^{3 t} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d P = \int 2 e^{3 t} d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$P + C_{1} = \int 2 e^{3 t} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$P + C_{1} = 2 \int e^{3 t} d t$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 3 t$ 。然后使 $d u = 3 d t$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 3 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $3 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 2.3.2.1.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 2.3.2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$P + C_{1} = 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.3.3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$P + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$P + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

解题步骤 2.3.5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$P + C_{1} = \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$P + C_{1} = \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

$P + C_{1} = \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$P + C_{1} = \frac{2}{3} e^{3 t} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$P = \frac{2}{3} e^{3 t} + K$

微积分学 示例

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