微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 3 y$ , $y (0) = \frac{1}{3}$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $3 y$ 。

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 2 x$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 3$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int 3 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{3 x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{3 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{3 x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (2 x)$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (2 x)$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$

解题步骤 3.4

将 $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 x e^{3 x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 x e^{3 x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 x e^{3 x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{3 x} y = 2 \int x e^{3 x} d x$

解题步骤 7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

解题步骤 7.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

解题步骤 7.3.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

解题步骤 7.4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

解题步骤 7.5

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.5.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.5.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 7.5.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 7.5.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 7.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

解题步骤 7.6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

解题步骤 7.7

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

解题步骤 7.8

化简。

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解题步骤 7.8.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

解题步骤 7.8.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

解题步骤 7.9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

解题步骤 7.10

将 $2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ 重写为 $2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

解题步骤 7.11

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $e^{3 x}$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

解题步骤 8.1.2

去掉圆括号。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

解题步骤 8.2

将 $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ 中的每一项除以 $e^{3 x}$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ 中的每一项都除以 $e^{3 x}$ 。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $e^{3 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.3.1.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1

从 $\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}$ 中分解出因数 $e^{3 x}$ 。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1.1

从 $\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x}$ 中分解出因数 $e^{3 x}$ 。

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.1.1.2

从 $- \frac{e^{3 x}}{9}$ 中分解出因数 $e^{3 x}$ 。

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.1.1.3

从 $e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9})$ 中分解出因数 $e^{3 x}$ 。

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x - \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.1.3

要将 $\frac{x}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 8.2.3.1.1.4.1

将 $\frac{x}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.1.4.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{9} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.1.5

在公分母上合并分子。

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{x \cdot 3 - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.1.6

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{3 x - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.1.7

合并指数。

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解题步骤 8.2.3.1.1.7.1

组合 $\frac{3 x - 1}{9}$ 和 $2$ 。

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.1.7.2

组合 $\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2 e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.1.8

将 $2$ 移到 $3 x - 1$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9} \cdot \frac{1}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.3

合并。

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.4

约去 $e^{3 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.4.1

约去公因数。

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.4.2

重写表达式。

$y = \frac{2 (3 x - 1) \cdot 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.2

要将 $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ 。

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.3

要将 $\frac{C}{e^{3 x}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 8.2.3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9 e^{3 x}$ 的形式。

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解题步骤 8.2.3.4.1

将 $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ 乘以 $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ 。

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 8.2.3.4.2

将 $\frac{C}{e^{3 x}}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

解题步骤 8.2.3.4.3

重新排序 $e^{3 x} \cdot 9$ 的因式。

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.5

在公分母上合并分子。

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.6

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.6.1

运用分配律。

$y = \frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.6.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{(6 x + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.6.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{(6 x - 2) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.6.4

运用分配律。

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.6.5

将 $9$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$

解题步骤 9

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $\frac{1}{3}$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$ 中求 $C$ 的值。

$\frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 0 e^{3 \cdot 0} - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}}$

解题步骤 10

求解 $C$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} = \frac{1}{3}$

解题步骤 10.2

两边同时乘以 $9 e^{3 \cdot 0}$ 。

$\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} (9 e^{3 \cdot 0}) = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

化简左边。

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解题步骤 10.3.1.1

化简 $\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} (9 e^{3 \cdot 0})$ 。

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解题步骤 10.3.1.1.1

约去 $9 e^{3 \cdot 0}$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} (9 e^{3 \cdot 0}) = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

解题步骤 10.3.1.1.1.2

重写表达式。

$6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

解题步骤 10.3.1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 10.3.1.1.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$6 \cdot (0 e^{0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

解题步骤 10.3.1.1.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$6 \cdot (0 \cdot 1) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

解题步骤 10.3.1.1.2.3

乘以 $6 (0 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 10.3.1.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$6 \cdot 0 - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

解题步骤 10.3.1.1.2.3.2

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$0 - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

解题步骤 10.3.1.1.2.4

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 - 2 e^{0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

解题步骤 10.3.1.1.2.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 - 2 \cdot 1 + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

解题步骤 10.3.1.1.2.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$0 - 2 + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

解题步骤 10.3.1.1.3

化简表达式。

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解题步骤 10.3.1.1.3.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2 + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

解题步骤 10.3.1.1.3.2

将 $- 2$ 和 $9 C$ 重新排序。

$9 C - 2 = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

解题步骤 10.3.2

化简右边。

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解题步骤 10.3.2.1

化简 $\frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$ 。

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解题步骤 10.3.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.2.1.1.1

从 $9 e^{3 \cdot 0}$ 中分解出因数 $3$ 。

$9 C - 2 = \frac{1}{3} (3 (3 e^{3 \cdot 0}))$

解题步骤 10.3.2.1.1.2

约去公因数。

$9 C - 2 = \frac{1}{3} (3 (3 e^{3 \cdot 0}))$

解题步骤 10.3.2.1.1.3

重写表达式。

$9 C - 2 = 3 e^{3 \cdot 0}$

解题步骤 10.3.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 10.3.2.1.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$9 C - 2 = 3 e^{0}$

解题步骤 10.3.2.1.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$9 C - 2 = 3 \cdot 1$

解题步骤 10.3.2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$9 C - 2 = 3$

解题步骤 10.4

求解 $C$ 。

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解题步骤 10.4.1

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.4.1.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$9 C = 3 + 2$

解题步骤 10.4.1.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$9 C = 5$

解题步骤 10.4.2

将 $9 C = 5$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 10.4.2.1

将 $9 C = 5$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 C}{9} = \frac{5}{9}$

解题步骤 10.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 10.4.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 C}{9} = \frac{5}{9}$

解题步骤 10.4.2.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{5}{9}$

解题步骤 11

代入 $\frac{5}{9}$ 替换 $y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 11.1

代入 $\frac{5}{9}$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 (\frac{5}{9})}{9 e^{3 x}}$

解题步骤 11.2

化简分子。

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解题步骤 11.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.1

约去公因数。

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 (\frac{5}{9})}{9 e^{3 x}}$

解题步骤 11.2.1.2

重写表达式。

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 5}{9 e^{3 x}}$

解题步骤 11.2.2

重新排序项。

$y = \frac{6 e^{3 x} x + 5 - 2 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$

解题步骤 11.3

将 $y = \frac{6 e^{3 x} x + 5 - 2 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{6 x e^{3 x} + 5 - 2 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$

微积分学 示例

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