微积分学示例

$(x + 2 y^{3}) d x + 6 x y^{2} d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x + 2 y^{3}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y^{3}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x + 2 y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y^{3}]$

解题步骤 1.2.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y^{3}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 (3 y^{2})$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 y^{2}$

解题步骤 1.4

将 $0$ 和 $6 y^{2}$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 6 x y^{2}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y^{2}]$

解题步骤 2.2

因为 $6 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $6 y^{2}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $6 y^{2}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$6 y^{2} = 6 y^{2}$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$6 y^{2} = 6 y^{2}$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 6 x y^{2} d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = 6 x y^{2}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $6 x$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $6 x$ 移到积分外。

$f (x, y) = 6 x \int y^{2} d y$

解题步骤 5.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$f (x, y) = 6 x (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

解题步骤 5.3

化简答案。

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解题步骤 5.3.1

将 $6 x (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ 重写为 $6 x \frac{1}{3} y^{3} + C$ 。

$f (x, y) = 6 x \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 5.3.2

化简。

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解题步骤 5.3.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f (x, y) = x \frac{6}{3} y^{3} + C$

解题步骤 5.3.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{6}{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{x \cdot 6}{3} y^{3} + C$

解题步骤 5.3.2.3

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{6 \cdot x}{3} y^{3} + C$

解题步骤 5.3.2.4

将 $6$ 乘以 $x$ 。

$f (x, y) = \frac{6 x}{3} y^{3} + C$

解题步骤 5.3.2.5

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.5.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x, y) = \frac{3 (2 x)}{3} y^{3} + C$

解题步骤 5.3.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.5.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x, y) = \frac{3 (2 x)}{3 (1)} y^{3} + C$

解题步骤 5.3.2.5.2.2

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{3 (2 x)}{3 \cdot 1} y^{3} + C$

解题步骤 5.3.2.5.2.3

重写表达式。

$f (x, y) = \frac{2 x}{1} y^{3} + C$

解题步骤 5.3.2.5.2.4

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$f (x, y) = 2 x y^{3} + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = 2 x y^{3} + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + 2 y^{3}$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3} + g (x)] = x + 2 y^{3}$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $2 x y^{3} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为 $2 y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

解题步骤 8.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

解题步骤 8.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 y^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$2 y^{3} + \frac{d g}{d x} = x + 2 y^{3}$

解题步骤 8.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{3} = x + 2 y^{3}$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去 $2 y^{3}$ 。

$\frac{d g}{d x} = x + 2 y^{3} - 2 y^{3}$

解题步骤 9.1.2

合并 $x + 2 y^{3} - 2 y^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $2 y^{3}$ 中减去 $2 y^{3}$ 。

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

解题步骤 9.1.2.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x$

解题步骤 10

求 $x$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = x$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int x d x$

解题步骤 10.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = 2 x y^{3} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = 2 x y^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = 2 x y^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$

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