微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

合并。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} \sqrt{x + 1}}$

解题步骤 1.2.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} \sqrt{x + 1}}$

解题步骤 1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 1.2.3

将 $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 1.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

解题步骤 1.2.4.2

对 $\sqrt{x + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

解题步骤 1.2.4.3

对 $\sqrt{x + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

解题步骤 1.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

解题步骤 1.2.4.6

将 ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ 重写为 $x + 1$ 。

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解题步骤 1.2.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

解题步骤 1.2.4.6.5

化简。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

解题步骤 2.2.3

将 $- y^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

解题步骤 2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

解题步骤 2.3.2.2

将分数分解成多个分数。

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解题步骤 2.3.2.2.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $u^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.2.2.2

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

将 $u$ 乘以 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.2.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.2.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.2.2.2.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.2.2.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.2.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.2.3.1

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3.2.3.2

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.2.3.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.2.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{y} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1, 1$

解题步骤 3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 3.2

将 $- \frac{1}{y} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{y} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$- \frac{1}{y} y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{y} y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{y} y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

解题步骤 3.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$ 中的因式重新排序。

$- 1 = 2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$ 。

$2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$

解题步骤 3.3.2

从 $2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + K y = - 1$

解题步骤 3.3.2.2

从 $K y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y K = - 1$

解题步骤 3.3.2.3

从 $y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y K$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$

解题步骤 3.3.3

将 $y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ 中的每一项除以 $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ 中的每一项都除以 $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ 。

$\frac{y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K} = \frac{- 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K}$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K}$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K}$

微积分学 示例

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