微积分学示例

$(3 x^{2} - 2 y^{2}) d y - 2 x y d x = 0$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

重写。

$- 2 x y d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = - 2 x y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

解题步骤 2.2

因为 $- 2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 x y$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 3 x^{2} - 2 y^{2}$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 y^{2}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $3 x^{2} - 2 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 2 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $- 2 x$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $6 x$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 2 x = 6 x$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- 2 x = 6 x$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $6 x$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{6 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 5.2

代入 $- 2 x$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{6 x - (- 2 x)}{M}$

解题步骤 5.3

代入 $- 2 x y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $- 2 x y$ 替换 $M$ 。

$\frac{6 x - (- 2 x)}{- 2 x y}$

解题步骤 5.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $6 x - (- 2 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 6 - (- 2 x)}{- 2 x y}$

解题步骤 5.3.2.1.2

从 $- (- 2 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 6 + x (- (- 2))}{- 2 x y}$

解题步骤 5.3.2.1.3

从 $x \cdot 6 + x (- (- 2))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (6 - (- 2))}{- 2 x y}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x (6 + 2)}{- 2 x y}$

解题步骤 5.3.2.3

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x \cdot 8}{- 2 x y}$

解题步骤 5.3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

约去公因数。

$\frac{x \cdot 8}{- 2 x y}$

解题步骤 5.3.3.2

重写表达式。

$\frac{8}{- 2 y}$

解题步骤 5.3.4

约去 $8$ 和 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4)}{- 2 y}$

解题步骤 5.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4)}{2 (- y)}$

解题步骤 5.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (- y)}$

解题步骤 5.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{- y}$

解题步骤 5.3.5

代入 $- 2 x y$ 替换 $M$ 。

$- \frac{4}{y}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{y} d y}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int - \frac{4}{y} d y}$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{y} d y}$

解题步骤 6.2

由于 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{y} d y)}$

解题步骤 6.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 6.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 6.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| y |)} + C$

解题步骤 6.6

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 4})} + C$

解题步骤 6.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 4} + C$

解题步骤 6.6.3

去掉 ${| y |}^{- 4}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = y^{- 4} + C$

解题步骤 6.6.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{4}} + C$

解题步骤 7

在 $- 2 x y d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y^{4}}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- 2 x y$ 乘以 $\frac{1}{y^{4}}$ 。

$- 2 x y \frac{1}{y^{4}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $- 2 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 2 x) \frac{1}{y^{4}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.2.2

从 $y^{4}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 2 x) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.2.3

约去公因数。

$y (- 2 x) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.2.4

重写表达式。

$- 2 x \frac{1}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$x \frac{- 2}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.4

组合 $x$ 和 $\frac{- 2}{y^{3}}$ 。

$\frac{x \cdot - 2}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.5

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 2 \cdot x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.7

将 $3 x^{2} - 2 y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y^{4}}$ 。

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) \frac{1}{y^{4}} d y = 0$

解题步骤 7.8

将 $3 x^{2} - 2 y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y^{4}}$ 。

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - \frac{2 x}{y^{3}} d x$

解题步骤 9

对 $M (x, y) = - \frac{2 x}{y^{3}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f (x, y) = - \int \frac{2 x}{y^{3}} d x$

解题步骤 9.2

由于 $\frac{2}{y^{3}}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{y^{3}}$ 移到积分外。

$f (x, y) = - (\frac{2}{y^{3}} \int x d x)$

解题步骤 9.3

去掉圆括号。

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} \int x d x$

解题步骤 9.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 9.5

化简答案。

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解题步骤 9.5.1

将 $- \frac{2}{y^{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $- \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ 。

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 9.5.2

化简。

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解题步骤 9.5.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{y^{3}}$ 。

$f (x, y) = - \frac{2}{2 y^{3}} x^{2} + C$

解题步骤 9.5.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.2.2.1

约去公因数。

$f (x, y) = - \frac{2}{2 y^{3}} x^{2} + C$

解题步骤 9.5.2.2.2

重写表达式。

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} x^{2} + C$

解题步骤 9.5.2.3

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + C$

解题步骤 10

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $- \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}]$ 。

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解题步骤 12.3.1

因为 $- x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- \frac{x^{2}}{y^{3}}$ 对 $y$ 的导数是 $- x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}]$ 。

$- x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.3.2

将 $\frac{1}{y^{3}}$ 重写为 ${(y^{3})}^{- 1}$ 。

$- x^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{- 1}$ 且 $g (y) = y^{3}$ 。

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解题步骤 12.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y^{3}$ 。

$- x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x^{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.3.3.3

使用 $y^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- x^{2} (- {(y^{3})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- x^{2} (- {(y^{3})}^{- 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.3.5

将 ${(y^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 12.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- x^{2} (- y^{3 \cdot - 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.3.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$- x^{2} (- y^{- 6} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.3.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{2} (- 3 y^{- 6} y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.3.7

通过指数相加将 $y^{- 6}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 12.3.7.1

移动 $y^{2}$ 。

$- x^{2} (- 3 (y^{2} y^{- 6})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- x^{2} (- 3 y^{2 - 6}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.3.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$- x^{2} (- 3 y^{- 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.3.8

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x^{2} y^{- 4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$3 x^{2} y^{- 4} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.5

化简。

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解题步骤 12.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 x^{2} \frac{1}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.5.2

合并项。

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解题步骤 12.5.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{y^{4}}$ 。

$x^{2} \frac{3}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.5.2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{3}{y^{4}}$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 3}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.5.2.3

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{3 x^{2}}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 12.5.3

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2}}{y^{4}} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 13.1

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 13.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 13.1.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2}}{y^{4}} - \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - (3 x^{2} - 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - (3 x^{2}) - (- 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - 3 x^{2} - (- 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - 3 x^{2} + 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.4

从 $3 x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.5

将 $0$ 和 $2 y^{2}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.6

约去 $y^{2}$ 和 $y^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1.6.1

从 $2 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.1.6.2.1

从 $y^{4}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{2} y^{2}} = 0$

解题步骤 13.1.1.6.2.2

约去公因数。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{2} y^{2}} = 0$

解题步骤 13.1.1.6.2.3

重写表达式。

$\frac{d g}{d y} + \frac{2}{y^{2}} = 0$

解题步骤 13.1.2

从等式两边同时减去 $\frac{2}{y^{2}}$ 。

$\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$

解题步骤 14

求 $- \frac{2}{y^{2}}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

解题步骤 14.3

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = - \int \frac{2}{y^{2}} d y$

解题步骤 14.4

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$g (y) = - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

解题步骤 14.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

解题步骤 14.6

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$g (y) = - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

解题步骤 14.7

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 14.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g (y) = - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

解题步骤 14.7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = - 2 \int y^{- 2} d y$

解题步骤 14.8

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$g (y) = - 2 (- y^{- 1} + C)$

解题步骤 14.9

化简答案。

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解题步骤 14.9.1

将 $- 2 (- y^{- 1} + C)$ 重写为 $- 2 (- \frac{1}{y}) + C$ 。

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{y}) + C$

解题步骤 14.9.2

化简。

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解题步骤 14.9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$g (y) = 2 \frac{1}{y} + C$

解题步骤 14.9.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$g (y) = \frac{2}{y} + C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{2}{y} + C$

微积分学 示例

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