微积分学示例

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x^{2} \cos (x)$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x^{2} \cos (x)$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

解题步骤 1.2

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

解题步骤 1.3

组合 $\frac{\frac{d y}{d x}}{x}$ 和 $x$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

解题步骤 1.4

组合 $y$ 和 $\frac{2}{x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{y \cdot 2}{x^{2}} x = x^{2} \cos (x) x$

解题步骤 1.5

组合 $x$ 和 $\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{2} \cos (x) x$

解题步骤 1.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1} x^{2} \cos (x)$

解题步骤 1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1 + 2} \cos (x)$

解题步骤 1.8

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

解题步骤 1.9

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

解题步骤 1.9.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

解题步骤 1.10

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.10.1

从 $x y \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

解题步骤 1.10.2

约去公因数。

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解题步骤 1.10.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{3} \cos (x)$

解题步骤 1.10.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{3} \cos (x)$

解题步骤 1.10.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} - \frac{y \cdot 2}{x} = x^{3} \cos (x)$

解题步骤 1.11

将 $y$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cdot y}{x} = x^{3} \cos (x)$

解题步骤 1.12

从 $- \frac{2 \cdot y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = x^{3} \cos (x)$

解题步骤 1.13

将 $y$ 和 $- \frac{2}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = x^{3} \cos (x)$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{2}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $- \frac{2}{x}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 2.2.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 2.2.5

化简。

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- 2 \ln (x)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 2})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 2}$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

解题步骤 3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

解题步骤 3.2.4

乘以 $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\frac{2 y}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

解题步骤 3.2.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

解题步骤 3.2.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

解题步骤 3.2.4.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

解题步骤 3.3

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $x^{3} \cos (x)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (x \cos (x)))$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (x \cos (x)))$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = x \cos (x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = x \cos (x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int x \cos (x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x \cos (x) d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

解题步骤 7.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$

解题步骤 7.3

将 $x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$ 重写为 $x \sin (x) + \cos (x) + C$ 。

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) + \cos (x) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简左边。

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解题步骤 8.1.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{x^{2}} = x \sin (x) + \cos (x) + C$

解题步骤 8.2

两边同时乘以 $x^{2}$ 。

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简左边。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

解题步骤 8.3.1.1.2

重写表达式。

$y = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

解题步骤 8.3.2

化简右边。

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解题步骤 8.3.2.1

化简 $(x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$ 。

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解题步骤 8.3.2.1.1

运用分配律。

$y = x \sin (x) x^{2} + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

解题步骤 8.3.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.3.2.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = x^{2} x \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

解题步骤 8.3.2.1.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.3.2.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = x^{2} x^{1} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

解题步骤 8.3.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = x^{2 + 1} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

解题步骤 8.3.2.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y = x^{3} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

解题步骤 8.3.2.1.3

将 $x^{3} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$ 中的因式重新排序。

$y = x^{3} \sin (x) + x^{2} \cos (x) + C x^{2}$

解题步骤 8.3.2.1.4

移动 $x^{2} \cos (x)$ 。

$y = x^{3} \sin (x) + C x^{2} + x^{2} \cos (x)$

解题步骤 8.3.2.1.5

将 $x^{3} \sin (x)$ 和 $C x^{2}$ 重新排序。

$y = C x^{2} + x^{3} \sin (x) + x^{2} \cos (x)$

微积分学 示例

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