微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 4 d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{4 x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{4 x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{4 x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (2 x)$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (2 x)$

解题步骤 2.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$

解题步骤 2.4

将 $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 2 x e^{4 x}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 2 x e^{4 x}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 2 x e^{4 x} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{4 x} y = \int 2 x e^{4 x} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{4 x} y = 2 \int x e^{4 x} d x$

解题步骤 6.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} y = 2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

解题步骤 6.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} y = 2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

解题步骤 6.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{4 x}}{4}$ 。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

解题步骤 6.3.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

解题步骤 6.4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

解题步骤 6.5

使 $u = 4 x$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.1

设 $u = 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 6.5.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 6.5.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 6.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

解题步骤 6.6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

解题步骤 6.7

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

解题步骤 6.8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.8.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

解题步骤 6.8.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

解题步骤 6.9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

解题步骤 6.10

将 $2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ 重写为 $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ 。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

解题步骤 6.11

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

解题步骤 6.12

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.12.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.12.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x$ 。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

解题步骤 6.12.1.2

组合 $\frac{x}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

解题步骤 6.12.1.3

组合 $e^{4 x}$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

解题步骤 6.12.2

运用分配律。

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

解题步骤 6.12.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.12.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

解题步骤 6.12.3.2

约去公因数。

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

解题步骤 6.12.3.3

重写表达式。

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

解题步骤 6.12.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.12.4.1

将 $- \frac{e^{4 x}}{16}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

解题步骤 6.12.4.2

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

解题步骤 6.12.4.3

约去公因数。

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

解题步骤 6.12.4.4

重写表达式。

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

解题步骤 6.12.5

将负号移到分数的前面。

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

解题步骤 6.13

重新排序项。

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$

解题步骤 7

将 $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ 中的每一项除以 $e^{4 x}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{4 x}$ 。

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

约去 $e^{4 x}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.1.1

约去 $e^{4 x}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.1.1.2

用 $\frac{1}{2} x$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.1.2

约去 $e^{4 x}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.1.2.1

约去公因数。

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.1.2.2

用 $- \frac{1}{8}$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.2

从 $\frac{1}{2} x$ 中减去 $\frac{1}{8}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 重新排序。

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.2.2

要将 $x \frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.2.3

组合 $x \frac{1}{2}$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.3.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (4)) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.3.2.2

约去公因数。

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 4) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.3.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.3.3

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.4

要将 $\frac{4 x - 1}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ 。

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.5

要将 $\frac{C}{e^{4 x}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 7.3.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8 e^{4 x}$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.6.1

将 $\frac{4 x - 1}{8}$ 乘以 $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ 。

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 7.3.6.2

将 $\frac{C}{e^{4 x}}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{4 x} \cdot 8}$

解题步骤 7.3.6.3

重新排序 $e^{4 x} \cdot 8$ 的因式。

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.7

在公分母上合并分子。

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.8

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.8.1

运用分配律。

$y = \frac{4 x e^{4 x} - 1 e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.8.2

将 $- 1 e^{4 x}$ 重写为 $- e^{4 x}$ 。

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.8.3

将 $8$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + 8 C}{8 e^{4 x}}$

微积分学 示例

微积分学示例