微积分学示例

$\frac{d x}{d y} = x y e^{y^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} (x y e^{y^{2}})$

解题步骤 1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $x y e^{y^{2}}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} (x (y e^{y^{2}}))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} (x (y e^{y^{2}}))$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = y e^{y^{2}}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{x} d x = y e^{y^{2}} d y$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{x} d x = \int y e^{y^{2}} d y$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| x |) + C_{1} = \int y e^{y^{2}} d y$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = y^{2}$ 。然后使 $d u = 2 y d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = y d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = y^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $y^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.3.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 y$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| x |) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| x |) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| x |) = \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| x |)} = e^{\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| x |) = \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C} = | x |$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| x | = e^{\frac{1}{2} \cdot e^{y^{2}} + C}$ 。

$| x | = e^{\frac{1}{2} \cdot e^{y^{2}} + C}$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{y^{2}}$ 。

$| x | = e^{\frac{e^{y^{2}}}{2} + C}$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm e^{\frac{e^{y^{2}}}{2} + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{\frac{e^{y^{2}}}{2} + C}$ 重写为 $e^{\frac{e^{y^{2}}}{2}} e^{C}$ 。

$x = \pm e^{\frac{e^{y^{2}}}{2}} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{\frac{e^{y^{2}}}{2}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$x = \pm e^{C} e^{\frac{e^{y^{2}}}{2}}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$x = C e^{\frac{e^{y^{2}}}{2}}$

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