微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$ , $y (0) = 5$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = 3 x^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ 重写为 $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

重写表达式。

$y + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = x^{3} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $5$ 代入 $y$ ，在 $y = x^{3} + K$ 中求 $K$ 的值。

$5 = 0^{3} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $0^{3} + K = 5$ 。

$0^{3} + K = 5$

解题步骤 4.2

化简 $0^{3} + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + K = 5$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K = 5$

解题步骤 5

代入 $5$ 替换 $y = x^{3} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $5$ 替换 $K$ 。

$y = x^{3} + 5$

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