微积分学示例

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 2 x$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 2 x]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $x^{2} + y^{2} + 2 x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

解题步骤 1.3

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [2 x]$

解题步骤 1.5

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

解题步骤 1.6

合并项。

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解题步骤 1.6.1

将 $0$ 和 $2 y$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

解题步骤 1.6.2

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 2 y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.2

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $0$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 y = 0$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$2 y = 0$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $2 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{2 y + 0}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $2 y$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $2 y$ 替换 $N$ 。

$\frac{2 y + 0}{2 y}$

解题步骤 4.3.2

约去 $2 y + 0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (y) + 0}{2 y}$

解题步骤 4.3.2.2

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (y) + 2 \cdot 0}{2 y}$

解题步骤 4.3.2.3

从 $2 (y) + 2 (0)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

解题步骤 4.3.2.4

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (y + 0)}{2 (y)}$

解题步骤 4.3.2.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

解题步骤 4.3.2.4.3

重写表达式。

$\frac{y + 0}{y}$

解题步骤 4.3.3

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y}{y}$

解题步骤 4.3.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$\frac{y}{y}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

$1$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int d x}$ 。

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解题步骤 5.1

应用常数不变法则。

$μ (x, y) = e^{x + C}$

解题步骤 5.2

化简。

$μ (x, y) = e^{x} + C$

解题步骤 6

在 $(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x^{2} + y^{2} + 2 x$ 乘以 $e^{x}$ 。

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) e^{x} d x + 2 y d y = 0$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $2 y$ 乘以 $e^{x}$ 。

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y e^{x} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = 2 y e^{x}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

由于 $2 e^{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2 e^{x}$ 移到积分外。

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y$

解题步骤 8.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 8.3

化简答案。

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解题步骤 8.3.1

将 $2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 重写为 $2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ 。

$f (x, y) = 2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2

化简。

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解题步骤 8.3.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (x, y) = \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.2

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $e^{x}$ 。

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.3.1

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.3.2

用 $e^{x}$ 除以 $1$ 。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $e^{x} y^{2} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $e^{x} y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

解题步骤 11.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

解题步骤 11.5.2

将 $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

从等式两边同时减去 $y^{2} e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$

解题步骤 12.1.2

合并 $x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.2.1

从 $y^{2} e^{x}$ 中减去 $y^{2} e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 0$

解题步骤 12.1.2.2

将 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

解题步骤 13

求 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

解题步骤 13.3

将单个积分拆分为多个积分。

$g (x) = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

解题步骤 13.4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{x}$ 。

$g (x) = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

解题步骤 13.5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$g (x) = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

解题步骤 13.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

解题步骤 13.7

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

解题步骤 13.8

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

解题步骤 13.9

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

解题步骤 13.10

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

解题步骤 13.11

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

解题步骤 13.12

化简。

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

解题步骤 15

化简 $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ 。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

运用分配律。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C$

解题步骤 15.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

解题步骤 15.2

合并 $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ 中相反的项。

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解题步骤 15.2.1

将 $- 2 x e^{x}$ 和 $2 x e^{x}$ 相加。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C$

解题步骤 15.2.2

将 $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C$

解题步骤 15.2.3

从 $2 e^{x}$ 中减去 $2 e^{x}$ 。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 0 + C$

解题步骤 15.2.4

将 $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$

解题步骤 15.3

将 $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = y^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} + C$

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