微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 2}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2} y$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 2} y)$

解题步骤 1.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $\frac{x}{x + 2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

用 $x$ 除以 $x + 2$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x$

$0$

解题步骤 2.3.1.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

解题步骤 2.3.1.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

解题步骤 2.3.1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 2$ 中的所有符号

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

解题步骤 2.3.1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

解题步骤 2.3.1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x$

解题步骤 2.3.5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

解题步骤 2.3.7

使 $u = x + 2$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.7.1

设 $u = x + 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.7.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 2.3.7.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.7.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.7.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3})$

解题步骤 2.3.9

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| u |) + C_{4}$

解题步骤 2.3.10

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |) = x + C$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| x + 2 |)$ 。

$\ln (| y |) + \ln ({| x + 2 |}^{2}) = x + C$

解题步骤 3.2.1.1.2

去掉 ${| x + 2 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (| y |) + \ln ({(x + 2)}^{2}) = x + C$

解题步骤 3.2.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y | {(x + 2)}^{2})} = e^{x + C}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x + C} = | y | {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ 。

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$

解题步骤 3.5.2

将 $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ 中的每一项除以 ${(x + 2)}^{2}$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ 中的每一项都除以 ${(x + 2)}^{2}$ 。

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

约去 ${(x + 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

用 $| y |$ 除以 $1$ 。

$| y | = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{x + C}$ 重写为 $e^{x} e^{C}$ 。

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $e^{x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C \frac{C e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

微积分学 示例

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