微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 6 x - 5$ 和 $y (4) = 0$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (6 x - 5) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 6 x - 5 d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 6 x - 5 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 6 x d x + \int - 5 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 6 \int x d x + \int - 5 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 5 d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 5 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 5 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$y + C_{1} = 3 x^{2} - 5 x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 3 x^{2} - 5 x + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $4$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = 3 x^{2} - 5 x + K$ 中求 $K$ 的值。

$0 = 3 \cdot 4^{2} - 5 \cdot 4 + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $3 \cdot 4^{2} - 5 \cdot 4 + K = 0$ 。

$3 \cdot 4^{2} - 5 \cdot 4 + K = 0$

解题步骤 4.2

化简 $3 \cdot 4^{2} - 5 \cdot 4 + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \cdot 16 - 5 \cdot 4 + K = 0$

解题步骤 4.2.1.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$48 - 5 \cdot 4 + K = 0$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$48 - 20 + K = 0$

解题步骤 4.2.2

从 $48$ 中减去 $20$ 。

$28 + K = 0$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $28$ 。

$K = - 28$

解题步骤 5

代入 $- 28$ 替换 $y = 3 x^{2} - 5 x + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 28$ 替换 $K$ 。

$y = 3 x^{2} - 5 x - 28$

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