微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2 y \cot (2 x)$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $2 y \cot (2 x)$ 。

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cot (2 x) = 2 x$

解题步骤 1.2

从 $2 y \cot (2 x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (2 \cot (2 x)) = 2 x$

解题步骤 1.3

将 $y$ 和 $2 \cot (2 x)$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) y = 2 x$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 2 \cot (2 x)$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int 2 \cot (2 x) d x}$

解题步骤 2.2

对 $2 \cot (2 x)$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 \int \cot (2 x) d x}$

解题步骤 2.2.2

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.2.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{2 \int \cot (u) \frac{1}{2} d u}$

解题步骤 2.2.3

组合 $\cot (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{2 \int \frac{\cot (u)}{2} d u}$

解题步骤 2.2.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{2 (\frac{1}{2} \int \cot (u) d u)}$

解题步骤 2.2.5

化简。

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解题步骤 2.2.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

解题步骤 2.2.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

解题步骤 2.2.5.2.2

重写表达式。

$e^{1 \int \cot (u) d u}$

解题步骤 2.2.5.3

将 $\int \cot (u) d u$ 乘以 $1$ 。

$e^{\int \cot (u) d u}$

解题步骤 2.2.6

$\cot (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| \sin (u) |)$ 。

$e^{\ln (| \sin (u) |) + C}$

解题步骤 2.2.7

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\ln (| \sin (2 x) |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (\sin (2 x))}$

解题步骤 2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$\sin (2 x)$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\sin (2 x)$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\sin (2 x)$ 。

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x) y) = \sin (2 x) (2 x)$

解题步骤 3.2

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 3.2.1

移动括号。

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

解题步骤 3.2.2

将 $\sin (2 x)$ 和 $2 \cot (2 x)$ 重新排序。

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) \sin (2 x) y = \sin (2 x) (2 x)$

解题步骤 3.2.3

添加圆括号。

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\cot (2 x) \sin (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

解题步骤 3.2.4

将 $\sin (2 x) (2 \cot (2 x) y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

解题步骤 3.2.5

约去公因数。

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) (2 x)$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = 2 \sin (2 x) x$

解题步骤 3.4

将 $\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = 2 \sin (2 x) x$ 中的因式重新排序。

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 y \cos (2 x) = 2 x \sin (2 x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] = 2 x \sin (2 x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] d x = \int 2 x \sin (2 x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\sin (2 x) y = \int 2 x \sin (2 x) d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\sin (2 x) y = 2 \int x \sin (2 x) d x$

解题步骤 7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (2 x)$ 。

$\sin (2 x) y = 2 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (2 x) y = 2 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 7.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{\cos (2 x)}{2}$ 。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 7.3.3

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 7.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 7.5

化简。

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解题步骤 7.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 7.5.2

将 $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ 乘以 $1$ 。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 7.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 7.7

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.7.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.7.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 7.7.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7.7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 7.8

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 7.9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

解题步骤 7.10

化简。

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解题步骤 7.10.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 7.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 7.11

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

解题步骤 7.12

化简。

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解题步骤 7.12.1

将 $2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ 重写为 $2 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ 。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

解题步骤 7.12.2

化简。

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解题步骤 7.12.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

解题步骤 7.12.2.2

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

解题步骤 7.12.2.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sin (u)$ 。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

解题步骤 7.13

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

解题步骤 7.14

化简。

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解题步骤 7.14.1

运用分配律。

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2}) + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

解题步骤 7.14.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.14.2.1

将 $- \frac{\cos (2 x) x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\sin (2 x) y = 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

解题步骤 7.14.2.2

约去公因数。

$\sin (2 x) y = 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

解题步骤 7.14.2.3

重写表达式。

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

解题步骤 7.14.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.14.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2 (2)} + C$

解题步骤 7.14.3.2

约去公因数。

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 7.14.3.3

重写表达式。

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 7.14.4

将 $- \cos (2 x) x + \frac{\sin (2 x)}{2}$ 中的因式重新排序。

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 7.15

重新排序项。

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

解题步骤 8

将 $\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$ 中的每一项除以 $\sin (2 x)$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$ 中的每一项都除以 $\sin (2 x)$ 。

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $\sin (2 x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

分离分数。

$y = \frac{- x}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

解题步骤 8.3.1.2

将 $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 转换成 $\cot (2 x)$ 。

$y = \frac{- x}{1} \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

解题步骤 8.3.1.3

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$y = - x \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

解题步骤 8.3.1.4

约去 $\sin (2 x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.4.1

约去公因数。

$y = - x \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

解题步骤 8.3.1.4.2

用 $\frac{1}{2}$ 除以 $1$ 。

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

解题步骤 8.3.1.5

分离分数。

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

解题步骤 8.3.1.6

将 $\frac{1}{\sin (2 x)}$ 转换成 $\csc (2 x)$ 。

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{1} \csc (2 x)$

解题步骤 8.3.1.7

用 $C$ 除以 $1$ 。

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + C \csc (2 x)$

微积分学 示例

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