微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 4 x \ln (x)$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = 4 x \ln (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 4 x \ln (x) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 4 x \ln (x) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 4 \int x \ln (x) d x$

解题步骤 2.3.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x$ 。

$y + C_{1} = 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 2.3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 2.3.3.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 2.3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 2.3.3.4

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

解题步骤 2.3.3.5

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.5.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

解题步骤 2.3.3.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.5.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

解题步骤 2.3.3.5.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

解题步骤 2.3.3.5.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}))$

解题步骤 2.3.6

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}))$

解题步骤 2.3.6.2

将 $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}))$ 重写为 $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.3

重新排序项。

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + K$

微积分学 示例

微积分学示例