微积分学示例

$\frac{d R}{d t} = \frac{60}{t^{2}}$ , $R (1) = 20$

解题步骤 1

重写该方程。

$d R = \frac{60}{t^{2}} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d R = \int \frac{60}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$R + C_{1} = \int \frac{60}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $60$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $60$ 移到积分外。

$R + C_{1} = 60 \int \frac{1}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.2.1

通过将 $t^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$R + C_{1} = 60 \int {(t^{2})}^{- 1} d t$

解题步骤 2.3.2.2

将 ${(t^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$R + C_{1} = 60 \int t^{2 \cdot - 1} d t$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$R + C_{1} = 60 \int t^{- 2} d t$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $t^{- 2}$ 对 $t$ 的积分是 $- t^{- 1}$ 。

$R + C_{1} = 60 (- t^{- 1} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简答案。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $60 (- t^{- 1} + C_{2})$ 重写为 $60 (- \frac{1}{t}) + C_{2}$ 。

$R + C_{1} = 60 (- \frac{1}{t}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2

化简。

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解题步骤 2.3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $60$ 。

$R + C_{1} = - 60 \frac{1}{t} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2

组合 $- 60$ 和 $\frac{1}{t}$ 。

$R + C_{1} = \frac{- 60}{t} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.3

将负号移到分数的前面。

$R + C_{1} = - \frac{60}{t} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$R = - \frac{60}{t} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $t$ ，将 $20$ 代入 $R$ ，在 $R = - \frac{60}{t} + K$ 中求 $K$ 的值。

$20 = - \frac{60}{1} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $- \frac{60}{1} + K = 20$ 。

$- \frac{60}{1} + K = 20$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

用 $60$ 除以 $1$ 。

$- 1 \cdot 60 + K = 20$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $60$ 。

$- 60 + K = 20$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

在等式两边都加上 $60$ 。

$K = 20 + 60$

解题步骤 4.3.2

将 $20$ 和 $60$ 相加。

$K = 80$

解题步骤 5

代入 $80$ 替换 $R = - \frac{60}{t} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $80$ 替换 $K$ 。

$R = - \frac{60}{t} + 80$

微积分学 示例

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