微积分学示例

$x (f {(x)}^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

化简。

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解题步骤 1.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x^{1} x^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f x^{1 + 3} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

解题步骤 1.1.1.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

解题步骤 1.1.2

将 $f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ 中的每一项除以 $f x^{4}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ 中的每一项都除以 $f x^{4}$ 。

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $f$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.2

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{f}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{f}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \frac{\ln (x)}{x^{4}} d x$

解题步骤 2.3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.2.1

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) {(x^{4})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{4 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{- 4} d x$

解题步骤 2.3.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x^{- 4}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (\ln (x) (- \frac{1}{3 x^{3}}) - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 2.3.4.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{x (3 x^{3})} d x)$

解题步骤 2.3.4.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 (x^{1} x^{3})} d x)$

解题步骤 2.3.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{1 + 3}} d x)$

解题步骤 2.3.4.5

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

解题步骤 2.3.5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - - \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + 1 \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

解题步骤 2.3.6.2

将 $\int \frac{1}{3 x^{4}} d x$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

解题步骤 2.3.7

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

解题步骤 2.3.8

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.8.1

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int {(x^{4})}^{- 1} d x)$

解题步骤 2.3.8.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.8.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{4 \cdot - 1} d x)$

解题步骤 2.3.8.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{- 4} d x)$

解题步骤 2.3.9

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{2}))$

解题步骤 2.3.10

化简答案。

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解题步骤 2.3.10.1

化简。

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解题步骤 2.3.10.1.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{2}))$

解题步骤 2.3.10.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$

解题步骤 2.3.10.2

将 $\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$ 重写为 $\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.11

重新排序项。

$y + C_{1} = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + K$

微积分学 示例

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